Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
c)
c)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema que transforma um sinal de entrada
num sinal de saída
O que a gente quer descobrir é se esse “acumulador” é invertível – ou seja, se dá pra recuperar
único a partir de
.
Conteúdo envolvido: invertibilidade de sistemas e a relação integral–derivada (o Teorema Fundamental do Cálculo).
O que vamos precisar: entender que integrar e depois derivar (ou o contrário) são operações que, sob certas condições de “boniteza” do sinal, se “anulam”.
Conteúdo envolvido: invertibilidade de sistemas e a relação integral–derivada (o Teorema Fundamental do Cálculo).
O que vamos precisar: entender que integrar e depois derivar (ou o contrário) são operações que, sob certas condições de “boniteza” do sinal, se “anulam”.
Passo 2
Primeiro, o que significa invertível? Significa que, se dois sinais de entrada
e
geram a mesma saída
, então forçosamente
para todo
.
Suponha que
Suponha que
Isso implica que a função
é igual a zero para todo
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
, então sua derivada também é zero:
Logo, o sistema é de fato um a um e, portanto, invertível (assumindo que
seja diferenciável).
Passo 3
Pra achar o sistema inverso, basta inverter a integral usando a derivada. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Ou seja, se chamamos de
o operador
o inverso
é simplesmente
Resposta
O sistema é invertível e o sistema inverso é