Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
c) y(t)=integral-infty^t x(tau) d tau

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema que transforma um sinal de entrada y(t)=integral-infty^t x(tau),dtau num sinal de saída
O que a gente quer descobrir é se esse “acumulador” é invertível – ou seja, se dá pra recuperar único a partir de .
Conteúdo envolvido: invertibilidade de sistemas e a relação integral–derivada (o Teorema Fundamental do Cálculo).
O que vamos precisar: entender que integrar e depois derivar (ou o contrário) são operações que, sob certas condições de “boniteza” do sinal, se “anulam”.

Passo 2

Primeiro, o que significa invertível? Significa que, se dois sinais de entrada y(t)=integral-infty^t x1(tau),dtau = integral-infty^t x2(tau),dtau e Y(t) = integral-infty^t l[x1(tau)-x2(tau)r],dtau geram a mesma saída ddtY(t) = x1(t) - x2(t) = 0 Rightarrow x1(t)=x2(t) , então forçosamente para todo .
Suponha que
Isso implica que a função
é igual a zero para todo . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se , então sua derivada também é zero:
Logo, o sistema é de fato um a um e, portanto, invertível (assumindo que seja diferenciável).

Passo 3

Pra achar o sistema inverso, basta inverter a integral usando a derivada. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
ddtintegral-infty^t x(tau),dtau = x(t)
Ou seja, se chamamos de Tx(t)=integral-infty^tx(tau),dtau, o operador
T^-1y(t) = ddt,y(t)
o inverso é simplesmente

Resposta

O sistema é invertível e o sistema inverso é
x(t) = ddt,y(t)

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