Determine se cada um dos sistemas a seguir é invertível ou não invertível. Se for invertível, determine o sistema inverso correspondente.
y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado dá um sistema S que mapeia o sinal de entrada x(t) em
y(t) \;=\;\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau.
Queremos verificar se S é invertível, ou seja, se para quaisquer dois sinais x_1\neq x_2 temos sempre S[x_1]\neq S[x_2]. Se der invertível, precisamos achar o sistema inverso S^{-1} tal que S^{-1}[y](t)=x(t).

Passo 2

Suponha que dois sinais x_1 e x_2 produzam a mesma saída:
\int_{-\infty}^{t} x_1(\tau)\,d\tau \;=\;\int_{-\infty}^{t} x_2(\tau)\,d\tau \quad\forall t.
Então a diferença e(t)=x_1(t)-x_2(t) satisfaz
\int_{-\infty}^{t} e(\tau)\,d\tau = 0 \quad\forall t.
Diferenciando ambos os lados em relação a t e usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
e(t)=0 \quad\forall t,
logo x_1(t)=x_2(t). Isso mostra que o sistema é um-para-um e, portanto, invertível.

Passo 3

Para desfazer a integração de -\infty até t, basta diferenciar y(t). Assim, o sistema inverso S^{-1} é
x(t) =\frac{d}{dt}\,y(t).
Em outras palavras, dado y(t), recuperamos x(t) pela derivada de y.

Resposta

O sistema é invertível e o sistema inverso é
S^{-1}:\quad x(t)=\frac{d}{dt}\,y(t).

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