Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
\quad G(s)=\frac{1}{\left(s^{3}+6 s^{2}+11 s+6\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
G(s)=\frac{1}{s^{3}+6s^{2}+11s+6}
Este é um problema de conteúdo sobre transformada inversa de Laplace para funções racionais. Vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais, seguida do reconhecimento de que \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s+a}\bigr\}=e^{-a t}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador cúbico:
s^{3}+6s^{2}+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+3), obtemos
1 = A(s+2)(s+3) + B(s+1)(s+3) + C(s+1)(s+2).
Agora avaliamos em s=-1,-2,-3:
  • Para s=-1: 1= A\cdot(1)\cdot(2)\Rightarrow A=\tfrac12.
  • Para s=-2: 1= B\cdot(-1)\cdot(1)\Rightarrow B=-1.
  • Para s=-3: 1= C\cdot(-2)\cdot(-1)\Rightarrow C=\tfrac12. Logo,
G(s)=\frac{1/2}{s+1}-\frac{1}{s+2}+\frac{1/2}{s+3}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1/2}{s+1}\Bigr\} =\tfrac12\,e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{-\frac{1}{s+2}\Bigr\} =-e^{-2t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1/2}{s+3}\Bigr\} =\tfrac12\,e^{-3t}.

Resposta

A transformada inversa de Laplace é
f(t)=\tfrac12\,e^{-t}\;-\;e^{-2t}\;+\;\tfrac12\,e^{-3t}.

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