Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
\quad G(s)=\frac{40}{s^{2}\left(s^{2}+9 s+20\right)(s+3)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
G(s)=\frac{40}{s^{2}\bigl(s^{2}+9s+20\bigr)(s+3)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e depois uso das fórmulas básicas \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s^2}\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+a}\}=e^{-a t}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador
s^{2}(s^{2}+9s+20)(s+3)=s^{2}(s+5)(s+4)(s+3)
e escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s^{2}(s+5)(s+4)(s+3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+5}+\frac{D}{s+4}+\frac{E}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+5)(s+4)(s+3) obtemos
1 =A\,s\,(s+5)(s+4)(s+3) +B\,(s+5)(s+4)(s+3) +C\,s^{2}(s+4)(s+3) +D\,s^{2}(s+5)(s+3) +E\,s^{2}(s+5)(s+4).

Passo 3

Para encontrar B,C,D,E avaliamos em s=0,-5,-4,-3: s=0: 1=B\,(5\cdot4\cdot3)=60\,B \quad\Rightarrow\quad B=\frac1{60}. s=-5: 1=C\,(25\cdot(-1)\cdot(-2))=50\,C \quad\Rightarrow\quad C=\frac1{50}. s=-4: 1=D\,(16\cdot1\cdot(-1))=-16\,D \quad\Rightarrow\quad D=-\frac1{16}. s=-3: 1=E\,(9\cdot2\cdot1)=18\,E \quad\Rightarrow\quad E=\frac1{18}.

Passo 4

Para achar A usamos que o coeficiente de s^4 no numerador deve ser zero, pois 1 é constante. Os termos em s^4 somam
A + C + D + E = 0 \quad\Rightarrow\quad A = -\bigl(C+D+E\bigr) =-\Bigl(\tfrac1{50}-\tfrac1{16}+\tfrac1{18}\Bigr) =-\frac{47}{3600}.

Passo 5

Voltando a G(s)=40\cdot\frac{1}{s^{2}(s+5)(s+4)(s+3)}, multiplicamos cada coeficiente por 40:
A' = 40 A = -\frac{47}{90},\quad B' = 40 B = \frac{2}{3},\quad C' = 40 C = \frac{4}{5},\quad D' = 40 D = -\frac{5}{2},\quad E' = 40 E = \frac{20}{9}.
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G(s) =-\frac{47}{90}\,\frac1s +\frac{2}{3}\,\frac1{s^2} +\frac{4}{5}\,\frac1{s+5} -\frac{5}{2}\,\frac1{s+4} +\frac{20}{9}\,\frac1{s+3}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) =-\frac{47}{90}\,1 +\frac{2}{3}\,t +\frac{4}{5}\,e^{-5t} -\frac{5}{2}\,e^{-4t} +\frac{20}{9}\,e^{-3t}.

Resposta

f(t)= -\frac{47}{90} + \frac{2}{3}\,t + \frac{4}{5}\,e^{-5t} - \frac{5}{2}\,e^{-4t} + \frac{20}{9}\,e^{-3t}.

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