Determine o calor específico de um sólido considerando que cada átomo da célula unitária esteja ligado a outro por três molas (Dica: Utilize o princípio da equipartição da energia.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o calor específico de um sólido considerando que cada átomo da célula unitária esteja ligado a outro por três molas”. Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado):
- Cada átomo da célula unitária está ligado a outro por três molas.
- Dica: usar o princípio da equipartição da energia.
O que é necessário responder (clareza do pedido):
- Encontrar o calor específico associado ao sólido. Vou apresentar a energia média por átomo, a capacidade térmica por átomo, a capacidade térmica molar e a forma por massa (se quiser usar massa molar).
Passo 2
Modelagem física e interpretação das molas:
- Uma mola que liga átomos gera, para pequenas oscilações, uma energia potencial elástica quadrática do tipo
, onde é a constante elástica e é o deslocamento. - O movimento vibracional de um átomo ligado por molas pode ser tratado como um oscilador harmônico (para pequenas oscilações). Cada coordenada independente que descreve a oscilação é associada a um termo quadrático de energia cinética
e a um termo quadrático de energia potencial . - O enunciado diz “ligado a outro por três molas”. A interpretação natural (padrão nesses problemas) é que o átomo tem três modos independentes de oscilação (por exemplo, nas três direções espaciais), i.e., três osciladores harmônicos por átomo.
Passo 3
Princípio da equipartição da energia (explicado de maneira didática):
- A equipartição afirma que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
, onde é a constante de Boltzmann e a temperatura absoluta. - Para um oscilador harmônico simples há duas parcelas quadráticas: uma na energia cinética
e outra na energia potencial . Cada parcela contribui com , logo o oscilador harmônico tem energia média total . - Em palavras: cada modo vibracional (uma direção independente de oscilação) dá
de energia média por partícula (metade cinética, metade potencial).
Passo 4
Aplicando ao nosso sólido (energia por átomo):
- Como cada átomo tem três osciladores harmônicos independentes (três molas/modos), a energia média por átomo é
- A capacidade térmica por átomo (derivada da energia em relação a
) é
Passo 5
Energia interna e calor molar (usar
e
):
- Para uma quantidade de matéria contendo
átomos, a energia interna total é . - Para uma mole,
(constante de Avogadro) e lembrando que , obtemos
- A capacidade térmica molar (a volume constante, que é o usual para sólidos rígidos) é a derivada
Passo 6
Calor específico por massa e comentários finais:
- Se for preciso o calor específico por unidade de massa (convencional em algumas áreas), usa-se a massa molar
(em ou ). Nesse caso
- Observação física rápida e útil para prova: este resultado é o famoso resultado clássico de Dulong–Petit para sólidos — o valor molar
— válido quando a descrição clássica (equipartição) é aplicável. Em baixas temperaturas o comportamento quântico modifica o resultado, mas para muitas temperaturas “moderadas” o resultado é o que aparece.