Determine o calor específico de um sólido considerando que cada átomo da célula unitária esteja ligado a outro por três molas (Dica: Utilize o princípio da equipartição da energia.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o calor específico de um sólido considerando que cada átomo da célula unitária esteja ligado a outro por três molas”. Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado):
  • Cada átomo da célula unitária está ligado a outro por três molas.
  • Dica: usar o princípio da equipartição da energia.
O que é necessário responder (clareza do pedido):
  • Encontrar o calor específico associado ao sólido. Vou apresentar a energia média por átomo, a capacidade térmica por átomo, a capacidade térmica molar e a forma por massa (se quiser usar massa molar).

Passo 2

Modelagem física e interpretação das molas:
  • Uma mola que liga átomos gera, para pequenas oscilações, uma energia potencial elástica quadrática do tipo \tfrac{1}{2}k x^2, onde k é a constante elástica e x é o deslocamento.
  • O movimento vibracional de um átomo ligado por molas pode ser tratado como um oscilador harmônico (para pequenas oscilações). Cada coordenada independente que descreve a oscilação é associada a um termo quadrático de energia cinética \tfrac{1}{2}m v^2 e a um termo quadrático de energia potencial \tfrac{1}{2}k x^2.
  • O enunciado diz “ligado a outro por três molas”. A interpretação natural (padrão nesses problemas) é que o átomo tem três modos independentes de oscilação (por exemplo, nas três direções espaciais), i.e., três osciladores harmônicos por átomo.

Passo 3

Princípio da equipartição da energia (explicado de maneira didática):
  • A equipartição afirma que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}k_B T, onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.
  • Para um oscilador harmônico simples há duas parcelas quadráticas: uma na energia cinética \tfrac{1}{2}m v^2 e outra na energia potencial \tfrac{1}{2}k x^2. Cada parcela contribui com \tfrac{1}{2}k_B T, logo o oscilador harmônico tem energia média total \,k_B T.
  • Em palavras: cada modo vibracional (uma direção independente de oscilação) dá k_B T de energia média por partícula (metade cinética, metade potencial).

Passo 4

Aplicando ao nosso sólido (energia por átomo):
  • Como cada átomo tem três osciladores harmônicos independentes (três molas/modos), a energia média por átomo é
\bar{E}_{\text{átomo}} = 3 \times k_B T = 3 k_B T.á
  • A capacidade térmica por átomo (derivada da energia em relação a T) é
c_{\text{átomo}} = \frac{d\bar{E}_{\text{átomo}}}{dT}=3 k_B.áá

Passo 5

Energia interna e calor molar (usar N_A e R):
  • Para uma quantidade de matéria contendo N átomos, a energia interna total é U = N \cdot 3 k_B T.
  • Para uma mole, N=N_A (constante de Avogadro) e lembrando que R = N_A k_B, obtemos
U_{\text{mol}} = 3 N_A k_B T = 3 R T.
  • A capacidade térmica molar (a volume constante, que é o usual para sólidos rígidos) é a derivada
C_V = \frac{dU_{\text{mol}}}{dT} = 3 R.

Passo 6

Calor específico por massa e comentários finais:
  • Se for preciso o calor específico por unidade de massa (convencional em algumas áreas), usa-se a massa molar M (em \mathrm{kg\,mol^{-1}} ou \mathrm{g\,mol^{-1}}). Nesse caso
c = \frac{C_V}{M} = \frac{3R}{M}.
  • Observação física rápida e útil para prova: este resultado é o famoso resultado clássico de Dulong–Petit para sólidos — o valor molar 3R — válido quando a descrição clássica (equipartição) é aplicável. Em baixas temperaturas o comportamento quântico modifica o resultado, mas para muitas temperaturas “moderadas” o resultado 3R é o que aparece.

Resposta

\bar{E}_{\text{átomo}}=3 k_B Tá
c_{\text{átomo}}=3 k_Bá
C_{V,\text{molar}}=3 R
c_{\text{por massa}}=\dfrac{3R}{M}

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