Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x y e^{\sqrt{2 x^{3}-y x}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: determinar as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
  • Função dada:
f(x,y)=\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x y e^{\sqrt{2 x^{3}-y x}}.
  • Informações relevantes (domínio onde a função está definida, para entender onde as derivadas fazem sentido):
    • A expressão \ln\sqrt{x^{2}+y^{2}} exige x^{2}+y^{2}>0 (ou seja, (x,y)\neq(0,0)).
    • A expressão \sqrt{2x^{3}-yx} exige 2x^{3}-yx\ge0 se quisermos números reais. Se tratarmos exponencial de número real, devemos assumir esses pontos do domínio.
  • Resumo do que vamos calcular: \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Simplificação inicial e estratégia geral (sem calcular ainda).
  • Observação: \ln\sqrt{x^{2}+y^{2}} pode ser simplificada usando \sqrt{u}=u^{1/2} e \ln(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln u. Assim
\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Definimos uma notação auxiliar para ficar mais claro:
    • Seja u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
    • Seja p(x,y)=2x^{3}-yx.
    • Seja h(x,y)=\sqrt{p(x,y)}=p(x,y)^{1/2}.
    • Seja g(x,y)=x y e^{h(x,y)}.
  • Então
f(x,y)=\tfrac{1}{2}\ln u(x,y)+g(x,y).
  • Métodos que vamos usar (fórmulas que aplicaremos):
    • Derivada parcial de \tfrac{1}{2}\ln u(x,y): regra da cadeia; se F(u)=\tfrac{1}{2}\ln u então F'(u)=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{u}.
    • Para g(x,y)=x y \, e^{h(x,y)}: usamos a regra do produto (derivada de x y vezes e^{h} mais x y vezes derivada de e^{h}) e a regra da cadeia para derivar e^{h(x,y)} (pois \tfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z} e depois multiplicar por h_x ou h_y).
  • Vou calcular \dfrac{\partial}{\partial x} e \dfrac{\partial}{\partial y} termo a termo e juntar os resultados.

Passo 3

Derivadas do primeiro termo \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Seja u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então \tfrac{1}{2}\ln u tem derivada parcial segundo a regra da cadeia:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln u\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
    • Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x, temos
\dfrac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})\bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x =\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Analogamente, para y:
\dfrac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})\bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
  • Comentário didático rápido: a regra da cadeia aqui é só reconhecer que \ln(\cdot) é uma função composta com x^{2}+y^{2}; derivar \ln 1/argumento e depois multiplicar pela derivada da argumento.

Passo 4

Derivar g(x,y)=x y e^{h(x,y)} em relação a x: aplicar regra do produto e cadeia.
  • Primeiro, identifique os fatores: g=(xy)\cdot e^{h}. Pela regra do produto,
\dfrac{\partial g}{\partial x} =\dfrac{\partial (xy)}{\partial x}\cdot e^{h}+ (xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\!\bigl(e^{h}\bigr).
  • Calcule \dfrac{\partial (xy)}{\partial x}=y.
  • Agora \dfrac{\partial}{\partial x}\!\bigl(e^{h(x,y)}\bigr)=e^{h(x,y)}\cdot \dfrac{\partial h}{\partial x} (regra da cadeia: derivada de e^{z} é e^{z} vezes z').
  • Precisamos de \dfrac{\partial h}{\partial x} com h(x,y)=\bigl(p(x,y)\bigr)^{1/2} e p(x,y)=2x^{3}-yx.
    • Pela regra da cadeia para potência t^{1/2}:
\dfrac{\partial h}{\partial x} =\tfrac{1}{2}p(x,y)^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial p}{\partial x}.
  • Calcule \dfrac{\partial p}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{3}-yx)=6x^{2}-y.
  • Portanto
\dfrac{\partial h}{\partial x} =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{6x^{2}-y}{\sqrt{2x^{3}-yx}} =\dfrac{6x^{2}-y}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}.
  • Reunindo tudo:
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y\, e^{h(x,y)} + (xy)\, e^{h(x,y)}\cdot \dfrac{6x^{2}-y}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}.
  • Podemos fatorar e^{h(x,y)}:
\dfrac{\partial g}{\partial x} = e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(y + \dfrac{xy(6x^{2}-y)}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right).

Passo 5

Derivar g(x,y)=x y e^{h(x,y)} em relação a y: produto e cadeia.
  • Pela regra do produto,
\dfrac{\partial g}{\partial y} =\dfrac{\partial (xy)}{\partial y}\cdot e^{h} + (xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\!\bigl(e^{h}\bigr).
  • Calcule \dfrac{\partial (xy)}{\partial y}=x.
  • E \dfrac{\partial}{\partial y}\!\bigl(e^{h(x,y)}\bigr)=e^{h(x,y)}\cdot \dfrac{\partial h}{\partial y}.
  • Agora \dfrac{\partial h}{\partial y}=\tfrac{1}{2}p^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial p}{\partial y}.
    • Calcule \dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{3}-yx)=-x.
    • Logo
\dfrac{\partial h}{\partial y} =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-x}{\sqrt{2x^{3}-yx}} =-\dfrac{x}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}.
  • Então
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x\, e^{h(x,y)} + (xy)\, e^{h(x,y)}\cdot\Bigl(-\dfrac{x}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\Bigr).
  • Colocando em forma factorizada:
\dfrac{\partial g}{\partial y} = e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(x - \dfrac{x^{2}y}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right).

Passo 6

Somar as contribuições dos dois termos para obter as derivadas parciais finais de f.
  • Lembrando que
    • derivada parcial do primeiro termo em x é \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}},
    • derivada parcial de g em x é a expressão que obtivemos no Passo 4.
  • Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} + e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(y + \dfrac{xy(6x^{2}-y)}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right).
  • Analogamente, somando as partes em y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} + e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(x - \dfrac{x^{2}y}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right).
  • Observação final: as expressões estão escritas de forma a mostrar claramente as aplicações da regra da cadeia e do produto; em prova vale organizar do jeito que achar mais claro, mas não esquecer de verificar o domínio (especialmente \sqrt{2x^{3}-yx} e x^{2}+y^{2}\neq0).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} + e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(y + \dfrac{xy(6x^{2}-y)}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right)
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} + e^{\sqrt{2x^{3}-yx}}\left(x - \dfrac{x^{2}y}{2\sqrt{2x^{3}-yx}}\right)

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