Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede: determinar as derivadas parciais de
em relação a e a . - Função dada:
- Informações relevantes (domínio onde a função está definida, para entender onde as derivadas fazem sentido):
- A expressão
exige (ou seja, ). - A expressão
exige se quisermos números reais. Se tratarmos exponencial de número real, devemos assumir esses pontos do domínio.
- A expressão
- Resumo do que vamos calcular:
e .
Passo 2
Simplificação inicial e estratégia geral (sem calcular ainda).
- Observação:
pode ser simplificada usando e . Assim
- Definimos uma notação auxiliar para ficar mais claro:
- Seja
. - Seja
. - Seja
. - Seja
.
- Seja
- Então
- Métodos que vamos usar (fórmulas que aplicaremos):
- Derivada parcial de
: regra da cadeia; se então . - Para
: usamos a regra do produto (derivada de vezes mais vezes derivada de ) e a regra da cadeia para derivar (pois e depois multiplicar por ou ).
- Derivada parcial de
- Vou calcular
e termo a termo e juntar os resultados.
Passo 3
Derivadas do primeiro termo
.
- Seja
. Então tem derivada parcial segundo a regra da cadeia: -
- Como
, temos
-
- Analogamente, para
:
- Comentário didático rápido: a regra da cadeia aqui é só reconhecer que
é uma função composta com ; derivar dá argumento e depois multiplicar pela derivada da argumento.
Passo 4
Derivar
em relação a
: aplicar regra do produto e cadeia.
- Primeiro, identifique os fatores:
. Pela regra do produto,
- Calcule
. - Agora
(regra da cadeia: derivada de é vezes ). - Precisamos de
com e . - Pela regra da cadeia para potência
:
- Pela regra da cadeia para potência
- Calcule
. - Portanto
- Reunindo tudo:
- Podemos fatorar
:
Passo 5
Derivar
em relação a
: produto e cadeia.
- Pela regra do produto,
- Calcule
. - E
. - Agora
. - Calcule
. - Logo
- Calcule
- Então
- Colocando em forma factorizada:
Passo 6
Somar as contribuições dos dois termos para obter as derivadas parciais finais de
.
- Lembrando que
- derivada parcial do primeiro termo em
é , - derivada parcial de
em é a expressão que obtivemos no Passo 4.
- derivada parcial do primeiro termo em
- Portanto
- Analogamente, somando as partes em
:
- Observação final: as expressões estão escritas de forma a mostrar claramente as aplicações da regra da cadeia e do produto; em prova vale organizar do jeito que achar mais claro, mas não esquecer de verificar o domínio (especialmente
e ).