Classifique as séries como convergentes ou divergentes justificando sua resposta:
c) \sum_{n=1}^{\infty} 2^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar como convergente ou divergente a série
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{1/n}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=2^{1/n}.
  • A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Lembrete obrigatório (teste necessário para convergência): se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação por que isso é verdade: se a série converge, os somatórios parciais s_n=\sum_{k=1}^n a_k têm limite S. Então
a_n = s_n - s_{n-1}\xrightarrow[n\to\infty]{} S-S=0.
Portanto, um teste rápido é calcular \lim_{n\to\infty} a_n; se esse limite for diferente de 0, a série diverge automaticamente (teste da divergência).

Passo 3

Calcular o limite do termo geral \displaystyle a_n=2^{1/n}.
Para facilitar, escrevemos em termos de exponencial e logaritmo natural:
2^{1/n}=e^{\frac{\ln 2}{n}}.
Agora observamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln 2}{n}=0,
portanto, pela continuidade da exponencial,
\lim_{n\to\infty}2^{1/n}=\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\ln 2}{n}}=e^0=1.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência: como \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Em outras palavras, os termos não tendem a zero, logo a soma infinita diverge. (Intuitivamente: somar infinitos termos que tendem a 1 é ainda “somar 1” infinitas vezes, que dá infinito.)
Resumo final e incentivo: não se deixe enganar pelo fato de 2^{1/n} tender a 1 lentamente — o ponto decisivo é que o limite não é 0. Então a série diverge. Você já fez a parte mais importante; é um teste curtinho e poderoso para muitas questões de prova. Força aí!

Resposta

Divergente

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