Aplicando o teste da divergência: como \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Em outras palavras, os termos não tendem a zero, logo a soma infinita diverge. (Intuitivamente: somar infinitos termos que tendem a 1 é ainda “somar 1” infinitas vezes, que dá infinito.)
Resumo final e incentivo: não se deixe enganar pelo fato de 2^{1/n} tender a 1 lentamente — o ponto decisivo é que o limite não é 0. Então a série diverge. Você já fez a parte mais importante; é um teste curtinho e poderoso para muitas questões de prova. Força aí!