Determine o campo elétrico para um dipolo no eixo em que estão as cargas, a distancia
do centro do anel na mediatriz que passa pelo mesmo.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico num ponto que fica sobre a mediatriz do dipolo (a mediatriz é a reta perpendicular que passa pelo centro entre as cargas). As informações relevantes que vamos usar são:
- Temos duas cargas pontuais,
e , colocadas sobre o eixo em e , respectivamente. - O ponto
onde queremos o campo fica na mediatriz, a uma distância do centro do dipolo; em coordenadas isso é o ponto . - Nosso objetivo: determinar
em como função de , , e das constantes físicas (vou usar ).
Nada mais será assumido além dessas posições.
Passo 2
Vou descrever a geometria e as distâncias que vamos precisar:
- Distância do ponto
a cada carga é a mesma; chamamos essa distância de
- O vetor que vai da carga
(em ) até é . O vetor da carga (em ) até é . - É útil pensar em componentes: as componentes horizontais (no eixo
) dos campos de cada carga podem somar ou cancelar, e o mesmo para a componente vertical (no eixo ). Vamos verificar isso explicitamente.
Passo 3
Revisão rápida da lei de Coulomb (a fórmula que usamos para o campo de uma carga pontual):
onde
-
é a posição do ponto onde calculamos o campo (aqui ); -
é a posição da carga; -
é o versor que aponta de para ; - o sinal de
já determina se o campo aponta para fora (se ) ou para dentro (se ).
Outra forma muito prática, escrevendo em vetor sem separar o versor, é
Vou usar essa forma vetorial (colocando
positivo ou negativo conforme o caso).
Passo 4
Calcular o campo devido a cada carga em
.
Defina
e
.
- Para a carga
em : . Portanto
As componentes são
- Para a carga
em : e o valor da carga é , então
As componentes são
Passo 5
Agora somamos as contribuições das duas cargas componente a componente.
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o campo resultante em
está inteiramente ao longo do eixo
(na direção que vai do positivo para o negativo, ou seja, apontando para
no nosso desenho). Em forma vetorial:
substituindo
e
,
Passo 6
Interpretação em termos do momento de dipolo. O momento de dipolo elétrico (para cargas
separadas por
ao longo de
) é
Substituindo
obtemos uma forma compacta:
No regime de campo distante (
) fazemos a aproximação
e obtemos a forma habitual do campo de dipolo no plano equatorial (mediatriz):
Comentário final: o campo na mediatriz é perpendicular ao vetor
(aqui no sentido oposto a
) e decai como
no regime distante — bom para decorar para prova!