Determine o campo elétrico para um dipolo no eixo em que estão as cargas, a distancia z do centro do anel na mediatriz que passa pelo mesmo.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico num ponto que fica sobre a mediatriz do dipolo (a mediatriz é a reta perpendicular que passa pelo centro entre as cargas). As informações relevantes que vamos usar são:
  • Temos duas cargas pontuais, +q e -q, colocadas sobre o eixo x em x=+a e x=-a, respectivamente.
  • O ponto P onde queremos o campo fica na mediatriz, a uma distância z do centro do dipolo; em coordenadas isso é o ponto (0,z).
  • Nosso objetivo: determinar \mathbf{E} em P como função de q, a, z e das constantes físicas (vou usar \varepsilon_0).
    Nada mais será assumido além dessas posições.

Passo 2

Vou descrever a geometria e as distâncias que vamos precisar:
  • Distância do ponto P a cada carga é a mesma; chamamos essa distância de
r=\sqrt{a^{2}+z^{2}}.
  • O vetor que vai da carga +q (em x=+a) até P é (-a,\,z). O vetor da carga -q (em x=-a) até P é (a,\,z).
  • É útil pensar em componentes: as componentes horizontais (no eixo x) dos campos de cada carga podem somar ou cancelar, e o mesmo para a componente vertical (no eixo z). Vamos verificar isso explicitamente.

Passo 3

Revisão rápida da lei de Coulomb (a fórmula que usamos para o campo de uma carga pontual):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{2}}\;\hat{\mathbf{u}}_{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)},
onde
  • \mathbf{r} é a posição do ponto onde calculamos o campo (aqui (0,z));
  • \mathbf{r}_q é a posição da carga;
  • \hat{\mathbf{u}}_{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)} é o versor que aponta de \mathbf{r}_q para \mathbf{r};
  • o sinal de q já determina se o campo aponta para fora (se q>0) ou para dentro (se q<0).
    Outra forma muito prática, escrevendo em vetor sem separar o versor, é
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{3}}.
Vou usar essa forma vetorial (colocando q positivo ou negativo conforme o caso).

Passo 4

Calcular o campo devido a cada carga em P.
Defina k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} e r=\sqrt{a^{2}+z^{2}}.
  • Para a carga +q em x=+a: \mathbf{r}-\mathbf{r}_{+} = (-a,\,z). Portanto
\mathbf{E}_{+} = k\,q\,\frac{(-a,\,z)}{r^{3}}.
As componentes são
E_{+,x} = -k\,q\,\frac{a}{r^{3}},\qquad E_{+,z}=k\,q\,\frac{z}{r^{3}}.
  • Para a carga -q em x=-a: \mathbf{r}-\mathbf{r}_{-} = (a,\,z) e o valor da carga é -q, então
\mathbf{E}_{-} = k\,(-q)\,\frac{(a,\,z)}{r^{3}} = k\,q\,\frac{(-a,\,-z)}{r^{3}}.
As componentes são
E_{-,x} = -k\,q\,\frac{a}{r^{3}},\qquad E_{-,z}=-k\,q\,\frac{z}{r^{3}}.

Passo 5

Agora somamos as contribuições das duas cargas componente a componente.
  • Componente x:
E_{x}=E_{+,x}+E_{-,x} = -k\,q\,\frac{a}{r^{3}} \;+\; -k\,q\,\frac{a}{r^{3}} = -\frac{2k q a}{r^{3}}.
  • Componente z:
E_{z}=E_{+,z}+E_{-,z} = k\,q\,\frac{z}{r^{3}} \;+\; -k\,q\,\frac{z}{r^{3}} = 0.
Portanto o campo resultante em P está inteiramente ao longo do eixo x (na direção que vai do positivo para o negativo, ou seja, apontando para -\hat{x} no nosso desenho). Em forma vetorial:
\mathbf{E} = -\frac{2k q a}{r^{3}}\,\hat{x}
substituindo k e r,
\boxed{\displaystyle \mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{2\,q\,a}{\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{x}.}

Passo 6

Interpretação em termos do momento de dipolo. O momento de dipolo elétrico (para cargas \pm q separadas por 2a ao longo de x) é
\mathbf{p}=q\,(2a)\,\hat{x}.
Substituindo 2q a = p obtemos uma forma compacta:
\mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\mathbf{p}}{\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
No regime de campo distante ( z\gg a) fazemos a aproximação a^{2}+z^{2}\approx z^{2} e obtemos a forma habitual do campo de dipolo no plano equatorial (mediatriz):
\mathbf{E}\approx -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\mathbf{p}}{z^{3}}\qquad(z\gg a).
Comentário final: o campo na mediatriz é perpendicular ao vetor \mathbf{p} (aqui no sentido oposto a \mathbf{p}) e decai como 1/z^{3} no regime distante — bom para decorar para prova!

Resposta

\displaystyle \mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{2\,q\,a}{\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat{x}

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