Uma esfera com v=9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide frontalmente com outra que está em repouso. As duas possuem a mesma massa. Se a colisão for completamente elástica, quais são as velocidades finais? (Valor =1,5 ponto).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as velocidades finais:
  • Duas esferas com a mesma massa.
  • A esfera 1 tem velocidade inicial \,9\\ \mathrm{m/s}\, (vou chamar de esfera 1 a que vem em movimento).
  • A esfera 2 está em repouso, ou seja, sua velocidade inicial é \,0\\ \mathrm{m/s}\,.
  • A colisão é frontal e completamente elástica.
    O que se pede: encontrar as velocidades finais das duas esferas após a colisão.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (sempre utilezinho):
  • Seja \,u_1 a velocidade inicial da esfera 1 e \,u_2 a velocidade inicial da esfera 2. Aqui \,u_1=9\\ \mathrm{m/s} e \,u_2=0\\ \mathrm{m/s}.
  • Seja \,v_1 a velocidade final da esfera 1 e \,v_2 a velocidade final da esfera 2 (essas são as incógnitas que queremos).
    Em colisões completamente elásticas e sem forças externas na direção do movimento, aplicamos duas leis importantes:
  1. Conservação da quantidade de movimento (momentum): a soma das massas vezes velocidades antes = soma depois. Matematicamente, para massas iguais m:
m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2.
Como as massas são iguais, podemos dividir por m e ficar com uma equação em velocidades (vou mostrar já com nossos valores).
2) Conservação da energia cinética: a soma das energias cinéticas antes = soma depois. A energia cinética de uma partícula é \tfrac{1}{2} m v^2. Para as duas esferas:
\tfrac{1}{2}m u_1^2 + \tfrac{1}{2}m u_2^2 = \tfrac{1}{2}m v_1^2 + \tfrac{1}{2}m v_2^2.
Também podemos dividir por \tfrac{1}{2}m (pois m\neq0) e trabalhar só com velocidades ao quadrado.

Passo 3

Escrevendo as equações com os valores iniciais e cancelando fatores comuns:
  • Equação da quantidade de movimento (dividindo por m):
u_1 + u_2 = v_1 + v_2.
Substituindo \,u_1=9 e \,u_2=0:
9 = v_1 + v_2. \tag{1}
  • Equação da energia cinética (dividindo por \tfrac{1}{2}m):
u_1^2 + u_2^2 = v_1^2 + v_2^2.
Substituindo valores:
9^2 + 0^2 = v_1^2 + v_2^2 \quad\Rightarrow\quad 81 = v_1^2 + v_2^2. \tag{2}

Passo 4

Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2):
\begin{cases} v_1 + v_2 = 9,\\[4pt] v_1^2 + v_2^2 = 81. \end{cases}
Uma técnica prática: elevar ao quadrado a primeira equação e comparar com a segunda. Quadrando (1):
(v_1 + v_2)^2 = 9^2 \quad\Rightarrow\quad v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2 = 81.]

Passo 5

Subtraindo a equação (2) da equação obtida ao quadrado:
\big(v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2\big) - \big(v_1^2 + v_2^2\big) = 81 - 81,
que simplifica para
2v_1 v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_1 v_2 = 0.
Isso significa que o produto das velocidades finais é zero: pelo menos uma das velocidades finais é zero.

Passo 6

Usando v_1 v_2 = 0 junto com a soma v_1 + v_2 = 9, temos duas possibilidades matemáticas:
  • Se v_1 = 0 então v_2 = 9.
  • Se v_2 = 0 então v_1 = 9.
Qual é a solução física? Pense: inicialmente a esfera 1 vinha a 9\\ \mathrm{m/s} e a esfera 2 estava parada. Se após a colisão continuássemos com v_1=9 e v_2=0, isso significaria que nada mudou — como se não houvesse colisão. Como foi dada uma colisão frontal entre as duas, a solução física é aquela em que a esfera que vinha perde seu movimento e a que estava parada sai com a velocidade original: as massas iguais numa colisão elástica frontal trocam velocidades. Portanto a solução física é
v_1 = 0\\ \mathrm{m/s},\qquad v_2 = 9\\ \mathrm{m/s}.
(Se você quiser um argumento mais formal: no referencial do centro de massa, velocidades se invertem de sinal em colisões elásticas; para massas iguais isso corresponde a troca de velocidades no referencial do laboratório.)

Resposta

v_1 = 0\\ \mathrm{m/s}
v_2 = 9\\ \mathrm{m/s}

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