Uma esfera com v=9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide frontalmente com outra que está em repouso. As duas possuem a mesma massa. Se a colisão for completamente elástica, quais são as velocidades finais? (Valor =1,5 ponto).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as velocidades finais:
Duas esferas com a mesma massa.
A esfera 1 tem velocidade inicial \,9\\ \mathrm{m/s}\, (vou chamar de esfera 1 a que vem em movimento).
A esfera 2 está em repouso, ou seja, sua velocidade inicial é \,0\\ \mathrm{m/s}\,.
A colisão é frontal e completamente elástica.
O que se pede: encontrar as velocidades finais das duas esferas após a colisão.
Seja \,u_1 a velocidade inicial da esfera 1 e \,u_2 a velocidade inicial da esfera 2. Aqui \,u_1=9\\ \mathrm{m/s} e \,u_2=0\\ \mathrm{m/s}.
Seja \,v_1 a velocidade final da esfera 1 e \,v_2 a velocidade final da esfera 2 (essas são as incógnitas que queremos).
Em colisões completamente elásticas e sem forças externas na direção do movimento, aplicamos duas leis importantes:
Conservação da quantidade de movimento (momentum): a soma das massas vezes velocidades antes = soma depois. Matematicamente, para massas iguais m:
m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2.
Como as massas são iguais, podemos dividir por m e ficar com uma equação em velocidades (vou mostrar já com nossos valores).
2) Conservação da energia cinética: a soma das energias cinéticas antes = soma depois. A energia cinética de uma partícula é \tfrac{1}{2} m v^2. Para as duas esferas:
Isso significa que o produto das velocidades finais é zero: pelo menos uma das velocidades finais é zero.
Passo 6
Usando v_1 v_2 = 0 junto com a soma v_1 + v_2 = 9, temos duas possibilidades matemáticas:
Se v_1 = 0 então v_2 = 9.
Se v_2 = 0 então v_1 = 9.
Qual é a solução física? Pense: inicialmente a esfera 1 vinha a 9\\ \mathrm{m/s} e a esfera 2 estava parada. Se após a colisão continuássemos com v_1=9 e v_2=0, isso significaria que nada mudou — como se não houvesse colisão. Como foi dada uma colisão frontal entre as duas, a solução física é aquela em que a esfera que vinha perde seu movimento e a que estava parada sai com a velocidade original: as massas iguais numa colisão elástica frontal trocam velocidades. Portanto a solução física é
(Se você quiser um argumento mais formal: no referencial do centro de massa, velocidades se invertem de sinal em colisões elásticas; para massas iguais isso corresponde a troca de velocidades no referencial do laboratório.)