Qual seria a velocidade de um pingo de chuva ao atingir o solo, se desconsiderássemos a resistência do ar? Considere que a nuvem de chuva se encontra a 1300 m do solo. Quanto de energia é dissipada devido à resistência do ar, supondo-se que a velocidade terminal de cada pingo de chuva é de 45 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sua massa seja 0,5 \mathrm{~g} .( Valor =2,0 pontos )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A velocidade de um pingo de chuva ao atingir o solo se desconsiderarmos a resistência do ar.
  2. A energia dissipada devido à resistência do ar, sabendo que a velocidade terminal é 45\\ \mathrm{m/s} e a massa do pingo é 0,5\\ \mathrm{g}.
Informações dadas (vou listar exatamente como apareceram):
h=1300\\ \mathrm{m},
v_t=45\\ \mathrm{m/s},
m=0,5\\ \mathrm{g}.
Também vou usar a aceleração da gravidade como
g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Princípio físico para a primeira pergunta (sem resistência do ar): conservação da energia mecânica.
Explicando com calma: um objeto que cai de uma altura h tem energia potencial gravitacional inicialmente igual a mgh. Se não há perda de energia (nenhuma resistência do ar), essa energia potencial vira energia cinética quando chega ao solo, dada por \tfrac{1}{2}mv^2. Portanto escrevemos a equação
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
Aqui:
  • m é a massa do pingo (cancela depois),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura de queda,
  • v é a velocidade final procurada.

Passo 3

Resolver a equação para v. Cancelamos m dos dois lados (por isso a velocidade não depende da massa quando não há arrasto) e isolamos v:
v = \sqrt{2 g h}.
Isso vem de manipular g h = \tfrac{1}{2} v^2 e multiplicar por 2, depois tirar raiz.

Passo 4

Substituímos os números para achar v:
Calcule primeiro 2 g h:
2 g h = 2\cdot 9,8 \cdot 1300 = 2\cdot 12740 = 25480.
Portanto
v = \sqrt{25480}\approx 159,6\\ \mathrm{m/s}.
Para ficar redondinho podemos dizer v\approx 1,60\times 10^2\\ \mathrm{m/s} (ou 160\\ \mathrm{m/s} com duas casas significativas).

Passo 5

Agora a segunda pergunta: energia dissipada pelo ar. Ideia física: a energia dissipada pela resistência do ar é a diferença entre a energia potencial inicial m g h e a energia cinética que o pingo tem ao atingir o solo. Se atinge o solo com velocidade terminal v_t, sua energia cinética final é \tfrac{1}{2} m v_t^2. Logo a energia dissipada é
E_{\text{diss}} = m g h - \tfrac{1}{2} m v_t^2.
Explicando: o trabalho feito pelo arrasto transforma parte da energia potencial em calor/som/movimento do ar — é isso que estamos calculando.

Passo 6

Converter a massa para unidades do Sistema Internacional:
m = 0,5\\ \mathrm{g} = 0,0005\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a energia potencial inicial:
m g h = 0,0005 \cdot 9,8 \cdot 1300.
Passo a passo: 9,8\cdot 1300 = 12740. Multiplicando por 0,0005:
m g h = 0,0005 \cdot 12740 = 6,37\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular a energia cinética com a velocidade terminal:
\tfrac{1}{2} m v_t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,0005 \cdot 45^2.
Passo a passo: 45^2 = 2025. Então \tfrac{1}{2}\cdot 0,0005 = 0,00025. Multiplicando:
\tfrac{1}{2} m v_t^2 = 0,00025 \cdot 2025 = 0,50625\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Subtrair para achar a energia dissipada:
E_{\text{diss}} = 6,37 - 0,50625 = 5,86375\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (dados do enunciado têm cerca de duas ou três cifras): E_{\text{diss}}\approx 5,86\\ \mathrm{J} ou, com menos casas, 5,9\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Resumo físico rápido (pra te animar): sem ar o pingo chegaria muito rápido, cerca de 160\\ \mathrm{m/s}. Na realidade o ar freia e a maior parte da energia potencial (aqui \sim 6,37\\ \mathrm{J}) é perdida para o ar; só sobra \sim 0,51\\ \mathrm{J} de energia cinética, o que significa que cerca de 92\% da energia foi dissipada (um comportamento bem comum para gotas pequenas).

Resposta

v\approx 159,6\\ \mathrm{m/s}
E_{\text{diss}}\approx 5,86\\ \mathrm{J}

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