Determine o campo magnético \vec{B}.
Determine o campo magnético \vec{B}, dentro e fora de um cilindro infinito de raio \mathrm{R}=1 (com \mu=2 ),percorrido por uma corrente de densidade: j=5\left(\frac{r}{R}\right)^{2} A / m^{2}
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o campo magnético \vec{B} “dentro” e “fora” de um cilindro infinito de raio R=1 (unidade m), com permeabilidade magnética \mu=2 (vou explicar abaixo o que isso significa), percorrido por uma corrente com densidade dependente do raio dada por
j(r)=5\left(\frac{r}{R}\right)^2\\ \text{A/m}^2.
Informações e perguntas que extraí do enunciado:
O cilindro é infinito e de raio R=1.
A permeabilidade magnética fornecida é \mu=2. (Vou interpretar isso como a permeabilidade absoluta igual a \mu=\mu_0\mu_r com \mu_r=2; ou seja \mu=2\mu_0.)
A densidade de corrente depende só de r e vale j(r)=5(r/R)^2 A/m^2. Como R=1, isso equivale a j(r)=5r^2 A/m^2.
O enunciado não especificou a direção da corrente, mas o uso típico nesse tipo de problema é que a corrente flui ao longo do eixo do cilindro (direção \hat{z}). Vou assumir isso: \vec{j}(r)=j(r)\,\hat{z}.
O que se pede: \vec{B} no interior (r<R) e no exterior (r>R) do cilindro.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando a física por trás):
Como o cilindro é infinito e \vec{j} depende apenas de r e é uniforme em \varphi e z, há simetria cilíndrica. Isso implica que o campo magnético será tangencial às circunferências concêntricas (direção \hat{\varphi}) e depende apenas de r: \vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\varphi}.
A ferramenta natural para explorar essa simetria é a Lei de Ampère na forma integral:
onde C é um caminho fechado (vamos escolher um círculo de raio r centrado no eixo), \mu é a permeabilidade absoluta do meio (vou tomar \mu=2\mu_0), e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessada pela área limitada por C.
Vou explicar cada coisa: \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao redor do laço; para um círculo de raio r com \vec{B}=B_\varphi(r)\hat\varphi esse integral vale B_\varphi(r)\times comprimento do círculo =B_\varphi(r)\cdot 2\pi r. I_{\text{enc}} é a integral da densidade de corrente sobre a área transversal até raio r: I_{\text{enc}}=\int_0^r j(r')\,2\pi r'\,dr'.
Direção: por simetria e pela regra da mão direita (corrente ao longo de \hat{z}), o campo magnético envolve o cilindro no sentido \hat{\varphi} (circulando o eixo).
Continuidade: em r=R as expressões internas e externas coincidem numericamente (pode conferir substituindo r=R=1 em cada expressão).
Unidades: B está em tesla se usar \mu em henry por metro e correntes em ampère.
\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{5\mu}{4r}\,\hat{\varphi},\quad r\ge R.
(Com \mu=2\mu_0 tenham as formas numéricas alternativas: \vec{B}(r)=\dfrac{5\mu_0}{2}r^{3}\hat{\varphi} para r<R e \vec{B}(r)=\dfrac{5\mu_0}{2r}\hat{\varphi} para r\ge R.)