Determine o campo magnético \vec{B}.
Determine o campo magnético \vec{B}, dentro e fora de um cilindro infinito de raio \mathrm{R}=1 (com \mu=2 ),percorrido por uma corrente de densidade:
j=5\left(\frac{r}{R}\right)^{2} A / m^{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o campo magnético \vec{B} “dentro” e “fora” de um cilindro infinito de raio R=1 (unidade m), com permeabilidade magnética \mu=2 (vou explicar abaixo o que isso significa), percorrido por uma corrente com densidade dependente do raio dada por
j(r)=5\left(\frac{r}{R}\right)^2\\ \text{A/m}^2.
Informações e perguntas que extraí do enunciado:
  • O cilindro é infinito e de raio R=1.
  • A permeabilidade magnética fornecida é \mu=2. (Vou interpretar isso como a permeabilidade absoluta igual a \mu=\mu_0\mu_r com \mu_r=2; ou seja \mu=2\mu_0.)
  • A densidade de corrente depende só de r e vale j(r)=5(r/R)^2 A/m ^2. Como R=1, isso equivale a j(r)=5r^2 A/m ^2.
  • O enunciado não especificou a direção da corrente, mas o uso típico nesse tipo de problema é que a corrente flui ao longo do eixo do cilindro (direção \hat{z}). Vou assumir isso: \vec{j}(r)=j(r)\,\hat{z}.
  • O que se pede: \vec{B} no interior ( r<R) e no exterior ( r>R) do cilindro.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando a física por trás):
  • Como o cilindro é infinito e \vec{j} depende apenas de r e é uniforme em \varphi e z, há simetria cilíndrica. Isso implica que o campo magnético será tangencial às circunferências concêntricas (direção \hat{\varphi}) e depende apenas de r: \vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\varphi}.
  • A ferramenta natural para explorar essa simetria é a Lei de Ampère na forma integral:
\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu I_{\text{enc}},
onde C é um caminho fechado (vamos escolher um círculo de raio r centrado no eixo), \mu é a permeabilidade absoluta do meio (vou tomar \mu=2\mu_0), e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessada pela área limitada por C.
  • Vou explicar cada coisa: \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao redor do laço; para um círculo de raio r com \vec{B}=B_\varphi(r)\hat\varphi esse integral vale B_\varphi(r)\times comprimento do círculo =B_\varphi(r)\cdot 2\pi r. I_{\text{enc}} é a integral da densidade de corrente sobre a área transversal até raio r: I_{\text{enc}}=\int_0^r j(r')\,2\pi r'\,dr'.
  • Portanto, a equação que vamos usar é
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu\int_0^r j(r')\,2\pi r'\,dr'.

Passo 3

Calcular a corrente cercada I_{\text{enc}}(r) para r\le R (interior).
  • Primeiro simplifico a expressão de j usando R=1:
j(r')=5\left(\frac{r'}{1}\right)^2=5{r'}^2\quad\text{A/m}^2.
  • Agora calculo I_{\text{enc}}(r):
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} j(r')\,2\pi r'\,dr'=\int_{0}^{r} 5{r'}^{2}\cdot 2\pi r'\,dr'.
  • Agrupo termos constantes:
I_{\text{enc}}(r)=10\pi\int_{0}^{r} {r'}^{3}\,dr'.
  • Faço a integral \int_0^r {r'}^3\,dr'=\left.\frac{{r'}^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
  • Portanto
I_{\text{enc}}(r)=10\pi\cdot \frac{r^{4}}{4}=\frac{10\pi}{4}r^{4}=\frac{5\pi}{2}\,r^{4}.
  • Resumo: para r\le R temos
I_{\text{enc}}(r)=\frac{5\pi}{2}\,r^{4}.

Passo 4

Aplicar Ampère para obter B_\varphi(r) no interior ( r<R).
  • A lei de Ampère escrita para nosso laço circular dá:
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu I_{\text{enc}}(r).
  • Substituo I_{\text{enc}}(r)=\dfrac{5\pi}{2}r^{4}:
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu\cdot\frac{5\pi}{2}r^{4}.
  • Isolo B_\varphi(r). Dividindo ambos os lados por 2\pi r:
B_\varphi(r)=\frac{\mu}{2\pi r}\cdot\frac{5\pi}{2}r^{4}.
  • Simplifico os fatores numéricos: \dfrac{5\pi}{2}/(2\pi)=\dfrac{5}{4}. O fator r^{4}/r=r^{3}. Logo
B_\varphi(r)=\frac{5\mu}{4}\,r^{3}.
  • Colocando o vetor:
\vec{B}(r)=\frac{5\mu}{4}\,r^{3}\,\hat{\varphi},\qquad (r<R).
  • Lembrando da interpretação da permeabilidade: \mu=\mu_0\mu_r. Com \mu_r=2 obtemos \mu=2\mu_0. Se quiser a forma numérica em função de \mu_0:
\vec{B}(r)=\frac{5\cdot 2\mu_0}{4}\,r^{3}\,\hat{\varphi}=\frac{5\mu_0}{2}\,r^{3}\,\hat{\varphi}.

Passo 5

Determinar a corrente total I_{\text{total}} (para usar no exterior).
  • A corrente total é I_{\text{total}}=I_{\text{enc}}(R). Como R=1:
I_{\text{total}}=I_{\text{enc}}(1)=\frac{5\pi}{2}\cdot 1^{4}=\frac{5\pi}{2}.
  • Portanto a corrente total que atravessa a seção do cilindro é \dfrac{5\pi}{2} ampères.

Passo 6

Aplicar Ampère fora do cilindro ( r\ge R).
  • Para r\ge R o laço de raio r envolve toda a corrente do cilindro, então I_{\text{enc}}(r)=I_{\text{total}}=\dfrac{5\pi}{2}.
  • A lei de Ampère dá:
B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu\,I_{\text{total}}=\mu\cdot\frac{5\pi}{2}.
  • Isolando B_\varphi(r):
B_\varphi(r)=\frac{\mu}{2\pi r}\cdot\frac{5\pi}{2}=\frac{5\mu}{4}\cdot\frac{1}{r}.
  • Logo, o campo fora é
\vec{B}(r)=\frac{5\mu}{4r}\,\hat{\varphi},\qquad (r\ge R).
  • Usando \mu=2\mu_0 isto fica
\vec{B}(r)=\frac{5\cdot 2\mu_0}{4r}\,\hat{\varphi}=\frac{5\mu_0}{2r}\,\hat{\varphi}.

Passo 7

Interpretação final e direção do campo.
  • Direção: por simetria e pela regra da mão direita (corrente ao longo de \hat{z}), o campo magnético envolve o cilindro no sentido \hat{\varphi} (circulando o eixo).
  • Continuidade: em r=R as expressões internas e externas coincidem numericamente (pode conferir substituindo r=R=1 em cada expressão).
  • Unidades: B está em tesla se usar \mu em henry por metro e correntes em ampère.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{5\mu}{4}\,r^{3}\,\hat{\varphi},\quad r<R.
\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{5\mu}{4r}\,\hat{\varphi},\quad r\ge R.
(Com \mu=2\mu_0 tenham as formas numéricas alternativas: \vec{B}(r)=\dfrac{5\mu_0}{2}r^{3}\hat{\varphi} para r<R e \vec{B}(r)=\dfrac{5\mu_0}{2r}\hat{\varphi} para r\ge R.)

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