Um fio condutor muito longo, de raio \mathrm{R}=1 \mathrm{~cm} possui corrente uniforme de \mathrm{I}=10 \mathrm{~A} distribuída por toda a sua seção transversal. Determine o campo magnético em r=0,5 cm.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o campo magnético no interior de um fio cilíndrico condutor muito longo em um ponto a r=0{,}5\\ \mathrm{cm}. Dados fornecidos:
R=1\\ \mathrm{cm},\qquad I=10\\ \mathrm{A},
corrente uniformemente distribuída por toda a seção transversal. O ponto pedido tem raio r=0{,}5\\ \mathrm{cm}, que satisfaz r<R (estamos dentro do fio).

Passo 2

Ideia física e escolha do método: por simetria cilíndrica o campo magnético \mathbf{B} em torno do fio só depende da distância radial r ao eixo e é tangente às circunferências coaxiais (direção azimutal). Para fios longos e simétricos usamos a Lei de Ampère. A Lei de Ampère, em forma integral, é
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área limitada pelo caminho de integração. Vou escolher como caminho uma circunferência de raio r centrada no fio, porque torna a integral simples: \mathbf{B} é tangente e tem módulo constante ao longo dessa circunferência.

Passo 3

Avaliar o lado esquerdo da Lei de Ampère: sobre a circunferência de raio r,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B( r)\cdot (2\pi r),
onde B(r) é o módulo do campo magnético na distância r. Aqui explico as variáveis:
  • B(r) é o módulo do campo magnético a distância radial r do eixo.
  • 2\pi r é o comprimento da circunferência de raio r.

Passo 4

Calcular a corrente envolvida I_{\text{enc}}. Como a corrente está uniformemente distribuída pela seção, a densidade de corrente (corrente por área) é
J=\frac{I}{\pi R^2}.
Explicando: \pi R^2 é a área da seção transversal total do fio; dividir a corrente total I por essa área dá a corrente por unidade de área, J.

Passo 5

A corrente atravessando o círculo de raio r (a área contida dentro do caminho amperiano) é a densidade J multiplicada pela área \pi r^2:
I_{\text{enc}}=J\cdot \pi r^2=\frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2=I\frac{r^2}{R^2}.
Assim, a corrente “encapsulada” cresce com r^2 dentro do fio, proporcional à área considerada.

Passo 6

Substituindo na Lei de Ampère:
B(r)\cdot (2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2}.
Isolando B(r),
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\cdot\frac{r^2}{R^2}=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{R^2}.
Observação didática: isso mostra que, no interior do fio com corrente uniformemente distribuída, o campo magnético cresce linearmente com r: B(r)\propto r. As variáveis:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A});
  • I é a corrente total;
  • R é o raio externo do fio;
  • r é o raio onde quero o campo.

Passo 7

Agora calculo numericamente para r=0{,}5\\ \mathrm{cm}. Primeiro converto para o SI:
R=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},\qquad r=0{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}005\\ \mathrm{m},\qquad I=10\\ \mathrm{A},
e uso \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. A expressão ficou
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{R^2}.
Calculo passo a passo:
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
R^2=(0{,}01)^2=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
\frac{r}{R^2}=\frac{0{,}005}{1\times10^{-4}}=50.
B(r)=2\times10^{-7}\times I \times 50=2\times10^{-7}\times 10\times 50=1\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Em unidades mais familiares, 1\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=0{,}1\\ \mathrm{mT}.
Direção: o vetor \mathbf{B} é tangente às circunferências ao redor do fio; o sentido é dado pela regra da mão direita (se o dedo indicador aponta no sentido da corrente, o polegar enrolado indica o sentido de \mathbf{B}).

Passo 8

Cheque rápido de consistência: para r=R a fórmula dá B(R)=\mu_0 I/(2\pi R), que é a expressão conhecida para o campo no exterior imediato do cabo (na superfície), e a dependência linear B\propto r dentro do fio é esperada para densidade uniforme. Então o resultado está coerente.

Resposta

B(0{,}5\\ \mathrm{cm})=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=0{,}1\\ \mathrm{mT} (direção tangencial às circunferências ao redor do fio, sentido pela regra da mão direita).

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