Um fio condutor muito longo, de raio
possui corrente uniforme de
distribuída por toda a sua seção transversal. Determine o campo magnético em r=0,5 cm.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o campo magnético no interior de um fio cilíndrico condutor muito longo em um ponto a
. Dados fornecidos:
corrente uniformemente distribuída por toda a seção transversal. O ponto pedido tem raio
, que satisfaz
(estamos dentro do fio).
Passo 2
Ideia física e escolha do método: por simetria cilíndrica o campo magnético
em torno do fio só depende da distância radial
ao eixo e é tangente às circunferências coaxiais (direção azimutal). Para fios longos e simétricos usamos a Lei de Ampère. A Lei de Ampère, em forma integral, é
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente total atravessando a área limitada pelo caminho de integração. Vou escolher como caminho uma circunferência de raio
centrada no fio, porque torna a integral simples:
é tangente e tem módulo constante ao longo dessa circunferência.
Passo 3
Avaliar o lado esquerdo da Lei de Ampère: sobre a circunferência de raio
,
onde
é o módulo do campo magnético na distância
. Aqui explico as variáveis:
-
é o módulo do campo magnético a distância radial do eixo. -
é o comprimento da circunferência de raio .
Passo 4
Calcular a corrente envolvida
. Como a corrente está uniformemente distribuída pela seção, a densidade de corrente (corrente por área) é
Explicando:
é a área da seção transversal total do fio; dividir a corrente total
por essa área dá a corrente por unidade de área,
.
Passo 5
A corrente atravessando o círculo de raio
(a área contida dentro do caminho amperiano) é a densidade
multiplicada pela área
:
Assim, a corrente “encapsulada” cresce com
dentro do fio, proporcional à área considerada.
Passo 6
Substituindo na Lei de Ampère:
Isolando
,
Observação didática: isso mostra que, no interior do fio com corrente uniformemente distribuída, o campo magnético cresce linearmente com
:
. As variáveis:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ); -
é a corrente total; -
é o raio externo do fio; -
é o raio onde quero o campo.
Passo 7
Agora calculo numericamente para
. Primeiro converto para o SI:
e uso
. A expressão ficou
Calculo passo a passo:
Em unidades mais familiares,
.
Direção: o vetor
é tangente às circunferências ao redor do fio; o sentido é dado pela regra da mão direita (se o dedo indicador aponta no sentido da corrente, o polegar enrolado indica o sentido de
).
Passo 8
Cheque rápido de consistência: para
a fórmula dá
, que é a expressão conhecida para o campo no exterior imediato do cabo (na superfície), e a dependência linear
dentro do fio é esperada para densidade uniforme. Então o resultado está coerente.