Determine o campo magnético \vec{B}.
Determine o campo magnético \vec{B}, dentro e fora de um cilindro infinito de raio \mathrm{R}=1 (com \mu=2 ),percorrido por uma corrente de densidade:
j=5 \frac{A}{m^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo magnético \vec{B} dentro e fora de um cilindro infinito de raio R=1 metro, percorrido por uma corrente distribuída com densidade de corrente uniforme j=5\\ \mathrm{A/m^{2}}. Foi dada a permeabilidade relativa \mu_r=2 (o enunciado diz "com \mu=2"; vou interpretar isso como permeabilidade relativa \mu_r=2). Dados importantes listados:
R=1\\ \mathrm{m},\qquad j=5\\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad \mu_r=2.
Vou assumir que a corrente é ao longo do eixo do cilindro (direção +\hat{z}) e que o problema é independente do ângulo azimutal e da coordenada z por simetria (cilindro infinito). O objetivo: encontrar \vec{B}(r) para r<R (dentro) e para r>R (fora).

Passo 2

Qual a forma esperada de \vec{B} por simetria?
  • Como a geometria é cilíndrica e a corrente está ao longo do eixo z, o campo magnético será tangencial às circunferências centradas no eixo: isto é, na direção azimutal \hat{\varphi}.
  • O módulo de \vec{B} depende apenas da distância radial r ao eixo.
    Logo procuramos \vec{B}(r)=B_{\varphi}(r)\,\hat{\varphi}.

Passo 3

Que lei usar e como relacionar B com a corrente?
  • Usamos a Lei de Ampère no seu formato para o campo \vec{H}:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva de integração.
  • A relação entre \vec{B} e \vec{H} em meio linear é
\vec{B}=\mu\,\vec{H},
com \mu=\mu_0\mu_r. Aqui \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \mu_r=2, portanto \mu=2\mu_0.
  • Explicação didática: \vec{H} é a intensidade de campo magnético que aparece diretamente na Lei de Ampère; \vec{B} é a indução magnética que se relaciona com forças magnéticas e depende da permeabilidade do meio. Em problemas com materiais lineares homogêneos usa-se \vec{B}=\mu\vec{H}.

Passo 4

Escolha da curva amperiana e cálculo da corrente envolvida para r<R.
  • Tomamos uma circunferência concentric a de raio r (com r<R). Nessa curva, por simetria \vec{H}=H_{\varphi}(r)\hat{\varphi} é tangencial e constante ao longo da curva.
  • A corrente total atravessando a superfície circular de raio r é a densidade de corrente j multiplicada pela área:
I_{\text{enc}}(r)=j\cdot \pi r^{2}.
(Explicação: densidade de corrente j é corrente por unidade de área; multiplicando por área obtemos a corrente que atravessa a secção circular de raio r.)

Passo 5

Aplicação da Lei de Ampère para r<R e solução para H_{\varphi}.
  • A integral de linha é \oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_{\varphi}(r)\cdot (2\pi r).
  • Igualando à corrente envolvida:
H_{\varphi}(r)\cdot (2\pi r)=j\pi r^{2}.
  • Resolvendo para H_{\varphi}(r):
H_{\varphi}(r)=\frac{j\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{j\,r}{2}.
Portanto
\vec{H}(r)=\frac{j\,r}{2}\,\hat{\varphi}\qquad (r<R).

Passo 6

Obtenção de \vec{B} dentro ( r<R) usando \vec{B}=\mu\vec{H}.
  • Lembrando \mu=\mu_0\mu_r com \mu_r=2, temos \mu=2\mu_0.
  • Assim
\vec{B}(r)=\mu\,\vec{H}(r)=\mu_0\mu_r\cdot\frac{j\,r}{2}\,\hat{\varphi}.
  • Simplificando com \mu_r=2:
\vec{B}(r)=\mu_0\,j\,r\,\hat{\varphi}\qquad (r<R).
  • Substituindo os valores numéricos \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e j=5\\ \mathrm{A/m^{2}}:
\vec{B}(r)=\bigl(\mu_0 j\bigr) r\,\hat{\varphi}=(4\pi\times10^{-7}\cdot 5)\,r\,\hat{\varphi}=2\pi\times10^{-6}\,r\,\hat{\varphi}\\ \text{(T)}.
(Comentário: o campo cresce linearmente com r dentro do condutor.)

Passo 7

Cálculo para r>R (fora do cilindro): corrente envolvida é a corrente total.
  • Para r>R toda a corrente do cilindro está contida na área interior ao raio r. A corrente total do fio é
I_{\text{tot}}=j\cdot\pi R^{2}.
  • Aplicando Ampère na circunferência de raio r:
H_{\varphi}(r)\cdot (2\pi r)=I_{\text{tot}}=j\pi R^{2}.
  • Logo
H_{\varphi}(r)=\frac{j\pi R^{2}}{2\pi r}=\frac{j R^{2}}{2r}.

Passo 8

Obtenção de \vec{B} fora ( r>R).
  • Novamente \vec{B}=\mu\vec{H}=\mu_0\mu_r \vec{H}. Substituindo \mu_r=2:
\vec{B}(r)=\mu_0\mu_r\cdot\frac{j R^{2}}{2r}\,\hat{\varphi}=\mu_0\frac{j R^{2}}{r}\,\hat{\varphi}\qquad (r>R).
  • Com R=1\\ \mathrm{m} e j=5\\ \mathrm{A/m^{2}}:
\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 j R^{2}}{r}\,\hat{\varphi}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 5\cdot 1^{2}}{r}\,\hat{\varphi}=\frac{2\pi\times10^{-6}}{r}\,\hat{\varphi}\\ \text{(T)}.
(Comentário: fora do cilindro o campo decai como 1/r.)

Passo 9

Direção e verificação de continuidade:
  • Direção: \hat{\varphi} é a direção azimutal determinada pela regra da mão direita em relação à corrente axial: se a corrente estiver em +\hat{z}, o \vec{B} circula no sentido dado pelos dedos da mão direita quando o polegar aponta em +\hat{z}.
  • Continuidade em r=R: verificar B_{\text{in}}(R)=B_{\text{out}}(R):
B_{\text{in}}(R)=\mu_0 j R,\qquad B_{\text{out}}(R)=\frac{\mu_0 j R^{2}}{R}=\mu_0 j R,
logo são iguais — o campo tangencial é contínuo na fronteira, como esperado em meio sem camadas de corrente superficial adicional.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\mu_0 j r\,\hat{\varphi}=2\pi\times10^{-6}\,r\,\hat{\varphi}\\ \text{(T)}\quad\text{para }r<1\\ \mathrm{m}.\n \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_0 j R^{2}}{r}\,\hat{\varphi}=\frac{2\pi\times10^{-6}}{r}\,\hat{\varphi}\\ \text{(T)}\quad\text{para }r>1\\ \mathrm{m}.

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