Determine o campo magnético
.
Determine o campo magnético
, dentro e fora de um cilindro infinito de raio
(com
),percorrido por uma corrente de densidade:
Determine o campo magnético
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo magnético
dentro e fora de um cilindro infinito de raio
metro, percorrido por uma corrente distribuída com densidade de corrente uniforme
. Foi dada a permeabilidade relativa
(o enunciado diz "com
"; vou interpretar isso como permeabilidade relativa
). Dados importantes listados:
Vou assumir que a corrente é ao longo do eixo do cilindro (direção
) e que o problema é independente do ângulo azimutal e da coordenada
por simetria (cilindro infinito). O objetivo: encontrar
para
(dentro) e para
(fora).
Passo 2
Qual a forma esperada de
por simetria?
- Como a geometria é cilíndrica e a corrente está ao longo do eixo
, o campo magnético será tangencial às circunferências centradas no eixo: isto é, na direção azimutal . - O módulo de
depende apenas da distância radial ao eixo.
Logo procuramos.
Passo 3
Que lei usar e como relacionar
com a corrente?
- Usamos a Lei de Ampère no seu formato para o campo
:
onde
é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva de integração.
- A relação entre
e em meio linear é
com
. Aqui
e
, portanto
.
- Explicação didática:
é a intensidade de campo magnético que aparece diretamente na Lei de Ampère; é a indução magnética que se relaciona com forças magnéticas e depende da permeabilidade do meio. Em problemas com materiais lineares homogêneos usa-se .
Passo 4
Escolha da curva amperiana e cálculo da corrente envolvida para
.
- Tomamos uma circunferência concentric a de raio
(com ). Nessa curva, por simetria é tangencial e constante ao longo da curva. - A corrente total atravessando a superfície circular de raio
é a densidade de corrente multiplicada pela área:
(Explicação: densidade de corrente
é corrente por unidade de área; multiplicando por área obtemos a corrente que atravessa a secção circular de raio
.)
Passo 5
Aplicação da Lei de Ampère para
e solução para
.
- A integral de linha é
. - Igualando à corrente envolvida:
- Resolvendo para
:
Portanto
Passo 6
Obtenção de
dentro (
) usando
.
- Lembrando
com , temos . - Assim
- Simplificando com
:
- Substituindo os valores numéricos
e :
(Comentário: o campo cresce linearmente com
dentro do condutor.)
Passo 7
Cálculo para
(fora do cilindro): corrente envolvida é a corrente total.
- Para
toda a corrente do cilindro está contida na área interior ao raio . A corrente total do fio é
- Aplicando Ampère na circunferência de raio
:
- Logo
Passo 8
Obtenção de
fora (
).
- Novamente
. Substituindo :
- Com
e :
(Comentário: fora do cilindro o campo decai como
.)
Passo 9
Direção e verificação de continuidade:
- Direção:
é a direção azimutal determinada pela regra da mão direita em relação à corrente axial: se a corrente estiver em , o circula no sentido dado pelos dedos da mão direita quando o polegar aponta em . - Continuidade em
: verificar :
logo são iguais — o campo tangencial é contínuo na fronteira, como esperado em meio sem camadas de corrente superficial adicional.