Determine se o campo de velocidade é incompressível e irrotacional:
V=3tî - xzj +ty²kî².

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo de velocidade $ \mathbf{V} = 3t,\mathbf{i} - xz,\mathbf{j} + ty^2,\mathbf{k} $ é incompressível e irrotacional.
Para isso, vamos precisar usar dois conceitos da matéria de Cálculo Vetorial:
  1. Divergência: Isso nos ajuda a saber se o campo é incompressível.
  2. Rotacional: Isso nos mostra se o campo é irrotacional.
Vamos precisar calcular a divergência e o rotacional desse campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de $ \mathbf{V} $. A divergência é dada por:
V
Onde $ V_x = 3t $, $ V_y = -xz $ e $ V_z = ty^2 $.
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. $ \frac{\partial V_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3t) = 0 $ porque $ 3t $ não depende de $ x $.
  2. $ \frac{\partial V_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-xz) = 0 $ porque $ -xz $ não depende de $ y $.
  3. $ \frac{\partial V_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(ty^2) = 0 $ porque $ ty^2 $ não depende de $ z $.
Agora, somando tudo:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Como a divergência é zero, o campo $ \mathbf{V} $ é incompressível.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{V} $. O rotacional é dado por:
V
Vamos calcular cada termo:
  1. $ \frac{\partial V_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(ty^2) = 2ty $
  2. $ \frac{\partial V_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-xz) = -x $
  3. $ \frac{\partial V_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(ty^2) = 0 $ porque $ ty^2 $ não depende de $ x $.
  4. $ \frac{\partial V_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3t) = 0 $ porque $ 3t $ não depende de $ z $.
  5. $ \frac{\partial V_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-xz) = -z $
  6. $ \frac{\partial V_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3t) = 0 $ porque $ 3t $ não depende de $ y $.
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z )i - ( partial Vzpartial x - partial Vxpartial z )j + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y )k
Então, o rotacional de $ \mathbf{V} $ é $ \nabla \times \mathbf{V} = (2ty + x)\mathbf{i} - z\mathbf{k} $.
Como o rotacional não é zero (temos termos $ 2ty + x $ e $ -z $), o campo $ \mathbf{V} $ não é irrotacional.

Resposta

O campo de velocidade $ \mathbf{V} = 3t,\mathbf{i} - xz,\mathbf{j} + ty^2,\mathbf{k} $ é incompressível porque sua divergência é zero, mas não é irrotacional já que o rotacional não é nulo.

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