Determine se o campo de velocidade é incompressível e irrotacional:
.
Determine o vetor aceleração
Determine o vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo de velocidade $ V = 3t\mathbf{i} - xz\mathbf{j} + ty^{2}\mathbf{k} $ é incompressível e irrotacional. Depois, também vamos determinar o vetor aceleração desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência e rotacional, além de calcular a aceleração usando o derivado material.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo é incompressível. Um campo de velocidade é incompressível quando a sua divergência é igual a zero. A divergência de $ V $ é dada por:
No nosso caso, $ V_x = 3t $, $ V_y = -xz $ e $ V_z = ty^{2} $. Calculando as derivadas parciais:
Somando tudo:
Então, o campo é incompressível.
Passo 3
Agora, vamos ver se o campo é irrotacional. Um campo é irrotacional quando o seu rotacional é igual a zero. O rotacional de $ V $ é dado por:
Vamos calcular cada termo:
Então, a componente $ \mathbf{i} $ é:
Então, a componente $ \mathbf{j} $ é:
Então, a componente $ \mathbf{k} $ é:
Portanto, o rotacional é:
Como o rotacional não é o vetor zero, o campo não é irrotacional.
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor aceleração. A aceleração $ a $ em um campo de velocidade é calculada pelo derivado material:
Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial V}{\partial t} $:
Agora, vamos calcular $ (V \cdot \nabla)V $. Isso significa que multiplicamos cada componente de $ V $ pelas derivadas correspondentes:
Aplicando isso a $ V $:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agora, somamos as duas partes para obter a aceleração:
Resposta
O campo de velocidade é incompressível, mas não é irrotacional. O vetor aceleração é dado por: