Determine se o campo de velocidade é incompressível e irrotacional:
V=3tî - xzj +ty²kî².
Determine o vetor aceleração

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo de velocidade $ V = 3t\mathbf{i} - xz\mathbf{j} + ty^{2}\mathbf{k} $ é incompressível e irrotacional. Depois, também vamos determinar o vetor aceleração desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como divergência e rotacional, além de calcular a aceleração usando o derivado material.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é incompressível. Um campo de velocidade é incompressível quando a sua divergência é igual a zero. A divergência de $ V $ é dada por:
V
No nosso caso, $ V_x = 3t $, $ V_y = -xz $ e $ V_z = ty^{2} $. Calculando as derivadas parciais:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z ã
Vx = 3t ã
Vy = -xz ã
Somando tudo:
Vz = ty^2
Então, o campo é incompressível.

Passo 3

Agora, vamos ver se o campo é irrotacional. Um campo é irrotacional quando o seu rotacional é igual a zero. O rotacional de $ V $ é dado por:
V
Vamos calcular cada termo:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z )i + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x )j + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y )k
partial Vzpartial y = partial (ty^2)partial y = 2ty
Então, a componente $ \mathbf{i} $ é:
partial Vypartial z = partial (-xz)partial z = -x
i
2ty - (-x) = 2ty + x
Então, a componente $ \mathbf{j} $ é:
partial Vxpartial z = partial (3t)partial z = 0
partial Vzpartial x = partial (ty^2)partial x = 0
j
Então, a componente $ \mathbf{k} $ é:
0 - 0 = 0
Portanto, o rotacional é:
partial Vypartial x = partial (-xz)partial x = -z
Como o rotacional não é o vetor zero, o campo não é irrotacional.

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor aceleração. A aceleração $ a $ em um campo de velocidade é calculada pelo derivado material:
a
Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial V}{\partial t} $:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Agora, vamos calcular $ (V \cdot \nabla)V $. Isso significa que multiplicamos cada componente de $ V $ pelas derivadas correspondentes:
partial Vpartial t
Aplicando isso a $ V $:
partial Vpartial t = partialpartial t(3ti - xzj + ty^2k) = 3i + 0j + y^2k
Calculando as derivadas:
(V cdot nabla)V
V
V cdot nabla = Vx partialpartial x + Vy partialpartial y + Vz partialpartial z = 3tpartialpartial x - xzpartialpartial y + ty^2partialpartial z
Substituindo de volta:
V
(V cdot nabla)V = 3t partial Vpartial x - xz partial Vpartial y + ty^2 partial Vpartial z
Simplificando:
partial Vpartial x = partialpartial x(3ti - xzj + ty^2k) = 0i - zj + 0k
Agora, somamos as duas partes para obter a aceleração:
partial Vpartial y = partialpartial y(3ti - xzj + ty^2k) = 0i + 0j + 2tyk
partial Vpartial z = partialpartial z(3ti - xzj + ty^2k) = 0i - xj + 0k

Resposta

O campo de velocidade é incompressível, mas não é irrotacional. O vetor aceleração é dado por:
a = 3i - (3tz + ty^2x)j + (y^2 - 2xzy)k

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