(2.0) Determine se o campo de vetores
é conservativo. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e pede duas coisas:
- Determinar se
é conservativo. - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os componentes de
são , e . - O campo está definido por funções suaves (seno e cosseno) em todo
.
Passo 2
O que significa “conservativo” e qual critério vamos usar (explicação didática):
- Um campo de vetores
é conservativo se existe uma função escalar tal que . Essa chama-se potencial. - Uma condição prática muito usada: se o campo é definido em um domínio simplesmente conexo (por exemplo
) e , então é conservativo. Ou seja, verificar se o rotacional (curl) é nulo é um jeito direto de testar conservação quando o domínio não tem “buracos”. - Aqui o campo é suave em todo
, que é simplesmente conexo, então vamos calcular . Se o rotacional for diferente de zero, concluímos que não é conservativo.
Também pedem
. Há uma identidade vetorial útil: para campos suficientemente suaves vale sempre
. Vamos calcular explicitamente para confirmar e mostrar o procedimento.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Usando a fórmula
vamos calcular cada derivada parcial (mostrando passo a passo):
Calcule
:
Calcule
:
Logo a componente
é
Calcule
:
Calcule
:
Logo a componente
é
Calcule
:
Calcule
:
Logo a componente
é
Portanto o rotacional é
Passo 4
Interpretação do resultado do rotacional:
- Observa-se que
não é o vetor nulo em geral (as componentes e não são identicamente zero para todo ). Por exemplo, em pontos com e tal que a componente é não-nula. - Como o rotacional não se anula em toda
, e o campo é definido em (domínio simplesmente conexo), concluímos que NÃO é conservativo.
Passo 5
Calcular
explicitamente (passo a passo) e mostrar que é zero.
Escrevendo o rotacional obtido:
A divergência desse vetor é
Calcule as derivadas:
Somando:
Comentário conceitual: isso confirma a identidade vetorial geral
válida para campos suficientemente suaves.
Resposta
Não.
não é conservativo.
.