(2.0) Determine se o campo de vetores
\vec{F}(x, y, z)=(y \cos z) \vec{i}+(x \sin z) \vec{j}+(x y \cos z) \vec{k}
é conservativo. Encontre \operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec{F}).

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y,z)=(y\cos z)\,\vec{i}+(x\sin z)\,\vec{j}+(xy\cos z)\,\vec{k},
e pede duas coisas:
  • Determinar se \vec{F} é conservativo.
  • Calcular \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os componentes de \vec{F} são F_1(x,y,z)=y\cos z, F_2(x,y,z)=x\sin z e F_3(x,y,z)=xy\cos z.
  • O campo está definido por funções suaves (seno e cosseno) em todo \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que significa “conservativo” e qual critério vamos usar (explicação didática):
  • Um campo de vetores \vec{F} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla\varphi. Essa \varphi chama-se potencial.
  • Uma condição prática muito usada: se o campo é definido em um domínio simplesmente conexo (por exemplo \mathbb{R}^3) e \nabla\times\vec{F}=\vec{0}, então \vec{F} é conservativo. Ou seja, verificar se o rotacional (curl) é nulo é um jeito direto de testar conservação quando o domínio não tem “buracos”.
  • Aqui o campo é suave em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, então vamos calcular \nabla\times\vec{F}. Se o rotacional for diferente de zero, concluímos que \vec{F} não é conservativo.
Também pedem \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}). Há uma identidade vetorial útil: para campos suficientemente suaves vale sempre \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0. Vamos calcular explicitamente para confirmar e mostrar o procedimento.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Usando a fórmula
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec{k},
vamos calcular cada derivada parcial (mostrando passo a passo):
Calcule \dfrac{\partial F_3}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\cos z\bigr)=x\cos z.
Calcule \dfrac{\partial F_2}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\sin z\bigr)=x\cos z.
Logo a componente \vec{i} é
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x\cos z - x\cos z=0.
Calcule \dfrac{\partial F_1}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\cos z\bigr)=-y\sin z.
Calcule \dfrac{\partial F_3}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\cos z\bigr)=y\cos z.
Logo a componente \vec{j} é
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=-y\sin z - y\cos z = -y\bigl(\sin z+\cos z\bigr).
Calcule \dfrac{\partial F_2}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin z\bigr)=\sin z.
Calcule \dfrac{\partial F_1}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos z\bigr)=\cos z.
Logo a componente \vec{k} é
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=\sin z - \cos z.
Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=0\,\vec{i}-y\bigl(\sin z+\cos z\bigr)\,\vec{j}+\bigl(\sin z-\cos z\bigr)\,\vec{k}.

Passo 4

Interpretação do resultado do rotacional:
  • Observa-se que \nabla\times\vec{F} não é o vetor nulo em geral (as componentes \vec{j} e \vec{k} não são identicamente zero para todo (x,y,z)). Por exemplo, em pontos com y\neq 0 e z tal que \sin z+\cos z\neq 0 a componente \vec{j} é não-nula.
  • Como o rotacional não se anula em toda \mathbb{R}^3, e o campo é definido em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} NÃO é conservativo.

Passo 5

Calcular \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F}) explicitamente (passo a passo) e mostrar que é zero.
Escrevendo o rotacional obtido:
\nabla\times\vec{F}=\bigl(0,\; -y(\sin z+\cos z),\; \sin z-\cos z\bigr).
A divergência desse vetor é
\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F}) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(0\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y(\sin z+\cos z)\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin z-\cos z\bigr).
Calcule as derivadas:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(0\bigr)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y(\sin z+\cos z)\bigr)=-(\sin z+\cos z),
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin z-\cos z\bigr)=\cos z+\sin z.
Somando:
\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 -(\sin z+\cos z)+(\cos z+\sin z)=0.
Comentário conceitual: isso confirma a identidade vetorial geral \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 válida para campos suficientemente suaves.

Resposta

Não. \vec{F} não é conservativo.
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{F})=0.

Exercícios relacionados