Considere o campo de vetores
\vec{F}(x, y)=\left(3 x^{2}+\sin y\right) \vec{i}+(x \cos y) \vec{j}
(a) (1.0) Mostre que \vec{F} é conservativo.
(b) (2.0) Encontre f tal que \vec{F}=\overrightarrow{\nabla f}.
(c) (2.0) Calcule
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde C é dada por
\vec{r}(t)=\left(e^{t} \sin t\right) \vec{i}+\left(e^{t} \cos t\right) \vec{j}
para 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y)=\bigl(3x^{2}+\sin y\bigr)\,\vec{i}+(x\cos y)\,\vec{j}
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que \vec{F} é conservativo.
  • (b) Encontrar uma função potencial f tal que \vec{F}=\overrightarrow{\nabla f}.
  • (c) Calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde a curva C é dada por
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\sin t\bigr)\,\vec{i}+\bigl(e^{t}\cos t\bigr)\,\vec{j},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes do campo são P(x,y)=3x^{2}+\sin y e Q(x,y)=x\cos y.
  • A curva C está parametrizada de t=0 até t=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

O que significa “conservativo” e como verificar (explicação didática).
  • Um campo \vec{F}=(P,Q) é conservativo se existe f(x,y) tal que \vec{F}=\nabla f, isto é, \frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
  • Em \mathbb{R}^{2}, uma condição prática (e suficiente quando o domínio é simplesmente conexo, como \mathbb{R}^2) é checar se as derivadas mistas coincidem: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Agora calculo essas derivadas para o nosso campo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+\sin y\bigr)=\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y\bigr)=\cos y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y e o domínio do campo é todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), podemos concluir que \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Como encontrar a função potencial f (método e explicação).
  • Método: integrar P em relação a x e depois ajustar com uma função de y arbitrária (pois a integração em x pode deixar uma “constante” que depende de y).
    Integro P(x,y)=3x^{2}+\sin y em relação a x:
f(x,y)=\int\bigl(3x^{2}+\sin y\bigr)\,dx = x^{3}+x\sin y+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Determinar g(y) comparando com Q (explicação passo a passo).
  • Derivo f em relação a y e uso que deveria ser igual a Q(x,y):
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x\sin y+g(y)\bigr) = x\cos y + g'(y).
  • Isso deve coincidir com Q(x,y)=x\cos y. Assim
x\cos y + g'(y) = x\cos y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
  • Como g'(y)=0, g é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial é determinado até uma constante aditiva). Portanto uma escolha conveniente para a função potencial é
f(x,y)=x^{3}+x\sin y.

Passo 5

Preparar para calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos (explicação).
  • Quando \vec{F}=\nabla f, para qualquer curva C que vai de um ponto A até um ponto B (independente do caminho), vale
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A).
  • Vamos aplicar isso. Primeiro identifico os pontos inicial e final da curva parametrizada \vec{r}(t).
    Calculo \vec{r}(0) e \vec{r}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr):
\vec{r}(0)=\bigl(e^{0}\sin 0,\; e^{0}\cos 0\bigr)=(0,1),
\vec{r}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\bigl(e^{\pi/2}\sin(\tfrac{\pi}{2}),\; e^{\pi/2}\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\bigl(e^{\pi/2},0\bigr).
Portanto A=(0,1) e B=(e^{\pi/2},0).

Passo 6

Calcular f(B)-f(A) detalhadamente.
  • Lembro que f(x,y)=x^{3}+x\sin y.
  • Avalio em B=(e^{\pi/2},0):
f\bigl(e^{\pi/2},0\bigr)=\bigl(e^{\pi/2}\bigr)^{3}+e^{\pi/2}\sin 0 = e^{3\pi/2}+e^{\pi/2}\cdot 0 = e^{3\pi/2}.
  • Avalio em A=(0,1):
f(0,1)=0^{3}+0\cdot\sin 1 = 0.
  • Logo, pela propriedade do potencial,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)=e^{3\pi/2}-0=e^{3\pi/2}.

Resposta

(a) Sim, \vec{F} é conservativo.
(b) f(x,y)=x^{3}+x\sin y + C (p. ex. C=0).
(c) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^{3\pi/2}

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