As componentes do campo são P(x,y)=3x^{2}+\sin y e Q(x,y)=x\cos y.
A curva C está parametrizada de t=0 até t=\frac{\pi}{2}.
Passo 2
O que significa “conservativo” e como verificar (explicação didática).
Um campo \vec{F}=(P,Q) é conservativo se existe f(x,y) tal que \vec{F}=\nabla f, isto é,\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
Em \mathbb{R}^{2}, uma condição prática (e suficiente quando o domínio é simplesmente conexo, como \mathbb{R}^2) é checar se as derivadas mistas coincidem:\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Agora calculo essas derivadas para o nosso campo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+\sin y\bigr)=\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y\bigr)=\cos y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y e o domínio do campo é todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), podemos concluir que \vec{F} é conservativo.
Passo 3
Como encontrar a função potencial f (método e explicação).
Método: integrar P em relação a x e depois ajustar com uma função de y arbitrária (pois a integração em x pode deixar uma “constante” que depende de y).
Integro P(x,y)=3x^{2}+\sin y em relação a x:
x\cos y + g'(y) = x\cos y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Como g'(y)=0, g é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (potencial é determinado até uma constante aditiva). Portanto uma escolha conveniente para a função potencial é
f(x,y)=x^{3}+x\sin y.
Passo 5
Preparar para calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos (explicação).
Quando \vec{F}=\nabla f, para qualquer curva C que vai de um ponto A até um ponto B (independente do caminho), vale
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A).
Vamos aplicar isso. Primeiro identifico os pontos inicial e final da curva parametrizada \vec{r}(t).
Calculo \vec{r}(0) e \vec{r}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr):