(3.0) Calcule
onde
é a curva fechada simples, no primeiro quadrante do plano, interseção das curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é a curva fechada simples, no primeiro quadrante, dada pela interseção das curvas
e
.
Informações e objetivos extraídas do enunciado:
- O campo de linha tem componentes
e . - As curvas se intersectam onde
e . Resolvendo simultaneamente: então as interseções no primeiro quadrante são e . - A curva
é o contorno fechado que vai de a por uma das curvas e volta por outra, formando uma região no primeiro quadrante limitada por e . - Objetivo: calcular a integral de linha ao longo de
. (Não foi dada orientação; adotarei a orientação positiva (contrária aos ponteiros do relógio), que é a usual para curvas fechadas orientadas positivamente.)
Passo 2
Escolha do método: usar o Teorema de Green porque
é uma curva fechada simples que limita uma região plana
e
têm derivadas parciais contínuas em
. Vou explicar o Teorema de Green de maneira didática.
Enunciado do Teorema de Green (versão usada aqui):
Se é a fronteira positivamente orientada de uma região
no plano e
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Se
O que cada coisa significa:
-
é a integral de linha ao longo da curva fechada . -
e são derivadas parciais de em relação a e de em relação a . - A integral dupla
é a integral sobre a área da região limitada por .
Aplicando ao nosso caso:
Calculo e
.
Calculo
Cálculo das derivadas parciais:
Portanto o integrando de Green é
Passo 3
Descrever a região
e montar a integral dupla.
A região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
e
. No primeiro quadrante
equivale a
(raiz principal, não-negativa). Para
tem-se
, então
varia entre
(baixo) e
(cima), com
indo de
a
.
Logo, pela fórmula de Green:
Explicação: escolhi a ordem
porque para cada
entre
e
a variável
fica entre duas funções simples de
:
e
. Isso facilita a integração.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Integramos termo a termo.
Integral interna:
Antiderivada em
:
pois
,
(tratando
como constante na integração em
), e
.
Avalio nos limites:
Simplifico as potências:
Então a expressão vira
Desenvolvendo o segundo parêntese:
Subtraindo, obtemos a integranda em
:
É útil reescrever
, então
Passo 5
Agora integro em
de
a
, termo a termo.
Antiderivadas:
Portanto
Avalio em
(em
tudo dá
):
Agora somo as frações com denominador comum
:
Somando com os sinais correspondentes:
logo o resultado é
.
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- O método pelo Teorema de Green foi adequado porque transformou a linha integral em uma integral dupla sobre uma região simples.
- A integral dupla foi calculada cuidadosamente; a resposta obtida é
. - Observação sobre orientação: a resposta corresponde à orientação positiva (contrária aos ponteiros do relógio). Se a curva tivesse sido percorrida no sentido horário, o sinal seria oposto.