Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x^2 + y) i + (y^2 + x) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e a existência de potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função tal que é o gradiente dessa função, ou seja, . Isso significa que o campo não tem “redemoinhos” e que o trabalho feito por ao mover uma partícula entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, uma das formas é calcular o rotacional de , denotado por . Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então é conservativo.
O rotacional em duas dimensões é dado por:
onde e são as componentes de nas direções e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:

Passo 5

Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, concluímos que é um campo vetorial conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 7

Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e surge como constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda componente de :
Simplificando:

Passo 9

Integrando em relação a :
onde é uma constante de integração.

Passo 10

Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar removendo a constante , já que a função potencial é definida até uma constante.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função tal que é:
onde é uma constante qualquer.

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