Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (3 x^2 - 4 y) i + (4 y^2 - 2 x) j

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial . Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente também vai encontrar uma função tal que . Pra isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, é aquele campo onde o trabalho feito ao mover de um ponto a outro não depende do caminho seguido. Matematicamente, um campo é conservativo se existir uma função tal que e . Outra forma de verificar se é conservativo é checando se .

Passo 3

Vamos aplicar essa última ideia. Nosso e . Precisamos calcular as derivadas parciais:
Agora, comparamos: não é igual a . Como , concluímos que não é um campo conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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