Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y, z) = 4 x e^z i + cos y j + 2 x^2 e^z k,
C: r(t) = t i + t^2 j + t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender como integrar derivadas parciais para encontrar a função potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de é dado por:
Comparando com o campo vetorial :
Podemos igualar as componentes:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar uma parte de :
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Por fim, vamos usar a terceira equação para determinar :
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante ou absorvê-la na função .

Resposta

A função que satisfaz é:
Onde é uma constante qualquer.

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