Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
17. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) = e^{yz}\,\mathbf{i} + xz\,e^{yz}\,\mathbf{j} + xy\,e^{yz}\,\mathbf{k}
é conservativo. Como o domínio é \mathbb{R}^3 (que é simplesmente conexo), basta mostrar que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Se for, então existe uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Depois, encontraremos f integrando as componentes.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ e^{yz} & xz\,e^{yz} & xy\,e^{yz} \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_x =\partial_y(xy\,e^{yz})-\partial_z(xz\,e^{yz}) =(x e^{yz}+xyz\,e^{yz})-(x e^{yz}+xyz\,e^{yz})=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_y =\partial_z(e^{yz})-\partial_x(xy\,e^{yz}) =(y e^{yz})-(y e^{yz})=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_z =\partial_x(xz\,e^{yz})-\partial_y(e^{yz}) =(z e^{yz})-(z e^{yz})=0.
Logo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, então o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f, integramos a primeira componente em x:
f(x,y,z)=\int e^{yz}\,dx = x\,e^{yz} + h(y,z),
onde h é função a determinar. Diferenciando em y,
\partial_y f = xz\,e^{yz} + \partial_y h(y,z)
deve ser igual à segunda componente xz\,e^{yz}. Assim \partial_y h=0, logo h=h(z). Agora diferenciamos em z:
\partial_z f = xy\,e^{yz} + h'(z)
deve ser igual à terceira componente xy\,e^{yz}. Então h'(z)=0, ou seja, h é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=x\,e^{yz} + C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados