Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(\operatorname{grad} f) \times(\operatorname{div} \mathbf{F})

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a expressão
(\operatorname{grad} f)\times(\operatorname{div}\mathbf{F})
onde f é um campo escalar e \mathbf{F} é um campo vetorial. O conteúdo da matéria é cálculo vetorial, envolvendo as operações \operatorname{grad}, \operatorname{div} e o produto vetorial.

Passo 2

Recordamos as definições: \operatorname{grad}f é um campo vetorial (pois envia cada ponto a um vetor gradiente), \operatorname{div}\mathbf{F} é um campo escalar (pois fornece em cada ponto um número).

Passo 3

O produto vetorial “ \times” só está definido entre dois vetores em \mathbb{R}^3. Aqui o primeiro fator é um vetor \operatorname{grad}f e o segundo fator é um escalar \operatorname{div}\mathbf{F}.

Resposta

A expressão não tem significado, pois não se pode tomar o produto vetorial entre um vetor e um escalar.

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