Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais (curl
) e depois integrar para achar
.
Passo 2
Verificamos o critério de conservatividade em
, que é simplesmente conexo e onde
faz sentido. Calculamos
Como
, o campo é conservativo nesse domínio.
Passo 3
Para encontrar a potencial
, integramos
em relação a
:
Cada termo dá
Somando e agrupando,
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Agora impomos
:
Daí
, logo
é constante.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
com
constante.