Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
F(x, y)=\left(1+2 x y+\ln x, x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)=\bigl(1+2xy+\ln x,\;x^2\bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y). Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais (curl =0) e depois integrar para achar \varphi.

Passo 2

Verificamos o critério de conservatividade em \{(x,y)\mid x>0\}, que é simplesmente conexo e onde \ln x faz sentido. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+2xy+\ln x\bigr) =2x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2\bigr) =2x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo nesse domínio.

Passo 3

Para encontrar a potencial \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(1+2xy+\ln x\bigr)\,dx =\int 1\,dx+\int 2xy\,dx+\int\ln x\,dx.
Cada termo dá
\int 1\,dx = x, \quad \int 2xy\,dx = x^2y, \quad \int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Somando e agrupando,
\varphi(x,y)=x + x^2y + x\ln x - x + h(y) =x^2y + x\ln x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos \partial\varphi/\partial y = Q(x,y)=x^2:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y + x\ln x + h(y)\bigr) =x^2 + h'(y) \stackrel{!}{=}x^2.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^2y + x\ln x + C,
com C constante.

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