Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
F(x, y)=\left(x e^{y}, y e^{x}\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = \bigl(xe^{y},\,ye^{x}\bigr)
definido em todo \mathbb{R}^2 e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi = F). Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo) um campo F=(P,Q) de classe C^1 é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}
em todo o domínio.

Passo 3

No nosso caso P(x,y)=xe^{y} e Q(x,y)=ye^{x}. Calculamos:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xe^{y}\bigr) = x\,e^{y},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(ye^{x}\bigr) = y\,e^{x}.
Como x\,e^{y}\neq y\,e^{x} para a maior parte dos pares (x,y), as derivadas cruzadas não coincidem em geral.

Resposta

O campo F(x,y)=\bigl(xe^{y},\,ye^{x}\bigr) não é conservativo, logo não existe função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=F.

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