Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em todo
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe uma função potencial
tal que
). Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Em
(que é simplesmente conexo) um campo
de classe
é conservativo se, e somente se,
em todo o domínio.
Passo 3
No nosso caso
e
. Calculamos:
Como
para a maior parte dos pares
, as derivadas cruzadas não coincidem em geral.
Resposta
O campo
não é conservativo, logo não existe função potencial
tal que
.