Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
. O conteúdo é teste de conservatividade em
e integração parcial para obter
.
Passo 2
Observamos que o domínio natural de
é
, que é aberto e simplesmente conexo. Assim, basta verificar se
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
em todo
,
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo
, ou seja,
é constante.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é