Determine se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
F(x, y)=\left(e^{y}, x e^{y}\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(e^y,\;x\,e^y\bigr)
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial \varphi(x,y). O conteúdo é teste de conservatividade em \mathbb{R}^2 e integração parcial para obter \varphi.

Passo 2

Observamos que o domínio natural de F é \mathbb{R}^2, que é aberto e simplesmente conexo. Assim, basta verificar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\bigr) =e^y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^y\bigr) =e^y.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int P(x,y)\,dx =\int e^y\,dx =x\,e^y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Impondo \partial \varphi/\partial y = Q(x,y), temos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^y + h(y)\bigr) =x\,e^y + h'(y) \overset{!}{=}x\,e^y.
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Resposta

O campo F(x,y)=(e^y,\,x\,e^y) é conservativo e uma função potencial é
\varphi(x,y)=x\,e^y + C,\quad C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados