Determine se os campos vetoriais abaixos são conservativos. Em caso afirmativo, determine uma função potencial.
b)
\vec{F}(x, y, z)=(\sin y x, \sin z x, \sin x y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\displaystyle \vec F(x,y,z) = \bigl(x\sin y,\;x\sin z,\;y\sin x\bigr)
é conservativo; e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. Vamos usar o critério de que, em um domínio simplesmente conectado, \vec F é conservativo se e somente se \nabla\times\vec F=\vec0.

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y,z)=x\sin y,\quad Q(x,y,z)=x\sin z,\quad R(x,y,z)=y\sin x
e vamos calcular o rotacional
\nabla\times\vec F=(\,\partial R/\partial y-\partial Q/\partial z,\;\partial P/\partial z-\partial R/\partial x,\;\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y).

Passo 3

Calculemos cada componente do rotacional:
(\nabla\times\vec F)_1 =\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial (y\sin x)}{\partial y}-\frac{\partial (x\sin z)}{\partial z} =\sin x - x\cos z,
(\nabla\times\vec F)_2 =\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial (x\sin y)}{\partial z}-\frac{\partial (y\sin x)}{\partial x} =0 - y\cos x =-\,y\cos x,
(\nabla\times\vec F)_3 =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x\sin z)}{\partial x}-\frac{\partial (x\sin y)}{\partial y} =\sin z - x\cos y.

Passo 4

Observamos que as componentes do rotacional não se anulam identicamente (por exemplo \sin x - x\cos z\neq0 em geral). Logo
\nabla\times\vec F\neq\vec0
em domínio aberto, e o campo \vec F não é conservativo.

Resposta

O campo \vec F(x,y,z)=(x\sin y,\;x\sin z,\;y\sin x) não é conservativo, portanto não existe função potencial.

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