Use o Teorema de Green para calcular a integral \int_{C} y^{2} d x+x d y, quando:
C é a circunferência de raio 2 e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C} y^{2}\,dx + x\,dy
onde C é a circunferência de raio 2 centrada na origem. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

No Teorema de Green identificamos
P(x,y)=y^{2}, \qquad Q(x,y)=x.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2y.
O integrando será
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-2y.

Passo 3

O Teorema de Green diz
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy =\iint_{D}\bigl(1-2y\bigr)\,dA.
Como D é o disco de raio 2 centrado na origem, a parte \iint_{D}(-2y)\,dA anula-se por simetria (função ímpar em y sobre região simétrica). Logo resta
\iint_{D}1\,dA
que é simplesmente a área de D.

Passo 4

A área do disco de raio 2 é
\text{Area}(D)=\pi\cdot2^{2}=4\pi.
Portanto a integral de linha vale 4\pi.

Resposta

4\pi

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