Determine se os campos vetoriais \vec{F} são ou não conservativos. Se for, determine um função f tal que \vec{F}=\nabla f.
\vec{F}(x, y)=\left(y^{2} \mathrm{e}^{x y},(1+x y) \mathrm{e}^{x y}\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F} e pede duas coisas: saber se \vec{F} é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial f tal que \vec{F}=\nabla f.
Informações fornecidas:
\vec{F}(x,y)=\big(P(x,y),\,Q(x,y)\big), \qquad P(x,y)=y^{2}e^{xy},\qquad Q(x,y)=(1+xy)e^{xy}.
O que é pedido:
  • Determinar se \vec{F} é conservativo.
  • Se for conservativo, achar f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}.

Passo 2

Vamos lembrar a condição prática que usaremos (explicação didática): se \vec{F}=(P,Q) tem componentes com derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então \vec{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • “Derivadas parciais contínuas” significa que podemos derivar P e Q e essas derivadas variam sem saltos.
  • “Dominio simplesmente conexo” em \mathbb{R}^2 basicamente significa que não há buracos no domínio; aqui as funções exponenciais estão definidas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, então o domínio é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo. Portanto essa condição é suficiente e necessária.
Logo, vamos calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x} passo a passo e comparar.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=y^{2}e^{xy}.
Aplicando a regra do produto (derivando y^2 e mantendo e^{xy}, e depois mantendo y^2 e derivando e^{xy} pela regra da cadeia):
\frac{\partial P}{\partial y} = 2y\,e^{xy} + y^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big).
A derivada de e^{xy} em relação a y é x e^{xy} (pela regra da cadeia, porque \dfrac{d}{dy}(xy)=x). Assim
\frac{\partial P}{\partial y} = 2y\,e^{xy} + y^{2}\cdot x e^{xy} = e^{xy}\big(2y + x y^{2}\big).
Podemos fatorar y se quisermos:
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{xy}\,y\,(2 + x y).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} com Q(x,y)=(1+xy)e^{xy}.
Novamente regra do produto: derivar (1+xy) em relação a x (que dá y) e manter e^{xy}, mais manter (1+xy) e derivar e^{xy} em relação a x (que dá y e^{xy} pela cadeia):
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\,e^{xy} + (1+xy)\cdot y e^{xy}.
Fatorando y e^{xy}:
\frac{\partial Q}{\partial x} = y e^{xy}\big(1 + (1+xy)\big) = y e^{xy}\big(2 + x y\big).
Assim obtemos exatamente o mesmo que em \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{xy}\,y\,(2 + x y)=\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 5

Como o domínio é \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo) e as derivadas parciais são contínuas, a igualdade \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} garante que \vec{F} é conservativo. Agora vamos achar a potencial f.
Método prático: integrar P em relação a x e adicionar uma “constante” que pode depender de y.
Integrando P(x,y)=y^{2}e^{xy} em x:
f(x,y)=\int y^{2}e^{xy}\,dx.
Como y é tratado como constante na integração em x, dá
f(x,y)=y^{2}\int e^{xy}\,dx.
Para \int e^{xy}\,dx podemos observar que \dfrac{d}{dx}\big(e^{xy}\big)=y e^{xy}, logo uma primitiva é \dfrac{1}{y}e^{xy} quando y\neq 0. Multiplicando por y^{2} obtemos y e^{xy}. (Essa expressão continua válida por continuidade também no caso y=0: se y=0, então P=0 e a primitiva em x é constante em x, e y e^{xy}=0 também dá comportamento correto; portanto a fórmula é global.)
Portanto, até uma função de y,
f(x,y)=y e^{xy} + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.
Para determinar g(y), impomos \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y). Calcule:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\big) = e^{xy} + y\cdot x e^{xy} = (1+xy)e^{xy}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=(1+xy)e^{xy} + g'(y).
Mas queremos \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q=(1+xy)e^{xy}. Assim
(1+xy)e^{xy} + g'(y) = (1+xy)e^{xy}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante: g(y)=C.
Portanto uma função potencial é
f(x,y)=y e^{xy} + C,
onde C é constante arbitrária. (No geral escolhemos C=0 se quisermos uma potencial simples.)

Resposta

Conservativo: sim.
f(x,y)=y e^{xy}+C

Exercícios relacionados