Determine se os campos vetoriais
são ou não conservativos. Se for, determine um função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: saber se
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
.
Informações fornecidas:
O que é pedido:
- Determinar se
é conservativo. - Se for conservativo, achar
tal que .
Passo 2
Vamos lembrar a condição prática que usaremos (explicação didática): se
tem componentes com derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então
é conservativo se, e somente se,
- “Derivadas parciais contínuas” significa que podemos derivar
e e essas derivadas variam sem saltos. - “Dominio simplesmente conexo” em
basicamente significa que não há buracos no domínio; aqui as funções exponenciais estão definidas para todo , então o domínio é , que é simplesmente conexo. Portanto essa condição é suficiente e necessária.
Logo, vamos calcular
e
passo a passo e comparar.
Passo 3
Calcular
com
.
Aplicando a regra do produto (derivando
e mantendo
, e depois mantendo
e derivando
pela regra da cadeia):
A derivada de
em relação a
é
(pela regra da cadeia, porque
). Assim
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 4
Calcular
com
.
Novamente regra do produto: derivar
em relação a
(que dá
) e manter
, mais manter
e derivar
em relação a
(que dá
pela cadeia):
Fatorando
:
Assim obtemos exatamente o mesmo que em
:
Passo 5
Como o domínio é
(simplesmente conexo) e as derivadas parciais são contínuas, a igualdade
garante que
é conservativo. Agora vamos achar a potencial
.
Método prático: integrar
em relação a
e adicionar uma “constante” que pode depender de
.
Integrando
em
:
Como
é tratado como constante na integração em
, dá
Para
podemos observar que
, logo uma primitiva é
quando
. Multiplicando por
obtemos
. (Essa expressão continua válida por continuidade também no caso
: se
, então
e a primitiva em
é constante em
, e
também dá comportamento correto; portanto a fórmula é global.)
Portanto, até uma função de ,
Portanto, até uma função de
onde
é uma função que depende só de
.
Para determinar
, impomos
. Calcule:
Logo
Mas queremos
. Assim
Logo
é constante:
.
Portanto uma função potencial é
onde
é constante arbitrária. (No geral escolhemos
se quisermos uma potencial simples.)
Resposta
Conservativo: sim.