Nas questões abaixo, justifique suas reculadoras e de dispositivos eletrônicos. Em todas as
Considere a função f(x, y)=x+y^{2} e o conjunto R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+2 y^{2} \leq 16\right\}.
(a) O conjunto R é compacto? Justifique.
(b) Existem pontos de máximo e mínimo de f no conjunto R ? Justifique.
(c) Se existirem, calcule os valores máximo e mínimo globais de f no conjunto R.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x+y^{2} e o conjunto
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\; x^{2}+2y^{2}\le 16\}.
As perguntas são:
(a) O conjunto R é compacto? Justifique.
(b) Existem pontos de máximo e mínimo de f em R? Justifique.
(c) Se existirem, calcule os valores máximo e mínimo globais de f em R e os pontos onde ocorrem.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A desigualdade x^{2}+2y^{2}\le 16 descreve uma elipse fechada (inclui a fronteira) centrada na origem.
  • A função f é polinomial em x e y (portanto contínua).

Passo 2

(a) Mostrar que R é compacto.
Explicação didática das noções usadas:
  • Um conjunto em \mathbb{R}^{2} é compacto se for fechado e limitado.
  • Uma forma prática: se R é o pré‑imagem de um conjunto fechado por uma função contínua, então R é fechado; e pode-se mostrar limites explícitos para coordenadas para provar que é limitado.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • A função g(x,y)=x^{2}+2y^{2} é contínua (é um polinômio).
  • O conjunto R é R=g^{-1}((-\infty,16]). Como (-\infty,16] é fechado e g é contínua, R é fechado.
  • Para mostrar que é limitado: de x^{2}+2y^{2}\le 16 segue x^{2}\le 16 e 2y^{2}\le 16. Portanto |x|\le 4 e |y|\le \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Logo R está contido em um retângulo limitado, portanto é limitado.
    Conclusão: R é fechado e limitado, logo R é compacto.

Passo 3

(b) Existência de máximo e mínimo.
Explicação didática (teorema usado):
  • Teorema de Weierstrass: se uma função é contínua em um conjunto compacto, então ela atinge um máximo e um mínimo global nesse conjunto.
  • A função f(x,y)=x+y^{2} é contínua em \mathbb{R}^{2} (é polinomial).
  • Já estabelecemos que R é compacto.
    Conclusão: pelo teorema de Weierstrass, f atinge valores máximo e mínimo em R. Portanto existem pontos de máximo e mínimo.

Passo 4

(c) Estratégia para encontrar os valores extremos.
Explicação didática dos métodos possíveis:
  • Extremos podem acontecer no interior de R ou na fronteira \partial R (onde x^{2}+2y^{2}=16).
  • Se houver pontos críticos no interior, eles satisfazem \nabla f=0.
  • Para a fronteira, um método padrão é multiplicadores de Lagrange: buscar pontos em que \nabla f é proporcional à \nabla g, onde g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-16.
    Vou examinar primeiro o interior e depois a fronteira.

Passo 5

Procurar pontos críticos no interior de R.
  • Calcular o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(1,2y).
  • Pontos críticos no interior satisfazem \nabla f=(0,0). Assim deve-se ter 1=0 e 2y=0.
  • A equação 1=0 é impossível, logo não há pontos críticos no interior de R.
    Conclusão: não existem extremos no interior; todos os extremos estão na fronteira \partial R.

Passo 6

Aplicar multiplicadores de Lagrange na fronteira.
  • Definir g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-16\). Na fronteira temos \(g(x,y)=0\). - Sistema de Lagrange: \(\nabla f=\lambda\nabla g\). Ou seja, \[(1,2y)=\lambda(2x,4y).
Isto gera o sistema de equações:
\begin{cases} 1=2\lambda x,\\[4pt] 2y=4\lambda y,\\[4pt] x^{2}+2y^{2}=16. \end{cases}
Resolver por casos em (y].
Caso 1: y=0.
  • Se y=0, a terceira equação dá x^{2}=16, então x=\pm 4.
  • Verificar a primeira equação: para x=\pm 4 temos \lambda = \dfrac{1}{2x}, o que é possível. Logo os pontos candidatos são (4,0) e (-4,0).
Caso 2: y\neq 0.
  • Se y\neq 0, divide-se a segunda equação por y obtendo 2=4\lambda, logo \lambda=\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo na primeira equação: 1=2\cdot\tfrac{1}{2}\,x \Rightarrow 1=x.
  • Com x=1 na restrição: 1^{2}+2y^{2}=16 \Rightarrow 2y^{2}=15 \Rightarrow y^{2}=\tfrac{15}{2}.
  • Portanto y=\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}. Assim os pontos candidatos são \left(1,\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right).
Observação final: não há outros casos (não há pontos em que \nabla g=0 na fronteira, pois \nabla g=(2x,4y) só seria zero em (0,0) que não pertence à fronteira).]

Passo 7

Avaliar f nos pontos candidatos e escolher máximo e mínimo.
  • Calcular f em cada candidato:
  1. Para (4,0):
f(4,0)=4+0^{2}=4.
  1. Para (-4,0):
f(-4,0)=-4+0^{2}=-4.
  1. Para \left(1,\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right):
f\!\left(1,\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right)=1+\left(\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right)^{2}=1+\tfrac{15}{2}=\tfrac{17}{2}.
  • Comparando os valores obtidos: -4,\;4,\;\tfrac{17}{2}. O maior é \tfrac{17}{2} e o menor é -4.
    Conclusão: o máximo global de f em R é \tfrac{17}{2} e ocorre nos pontos \left(1,\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right); o mínimo global é -4 e ocorre em (-4,0).

Resposta

(a) R é compacto (fechado e limitado).
(b) Sim, existem máximo e mínimo global de f em R (por Weierstrass, f contínua em R compacto).
(c) \displaystyle f_{\max}=\tfrac{17}{2} em \displaystyle\left(1,\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}}\right).
\displaystyle f_{\min}=-4 em \displaystyle(-4,0).

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