Seja
um campo de vetorial contínuo. Dizemos que a integral de linha
é independente do caminho se para quaisquer duas curvas (ou caminhos)
e
em
que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Temos:
Verifique se a inetgral de linha
é independente do caminho tomando os caminhos
e
.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
e pede para verificar se ela é independente do caminho tomando os dois caminhos:
-
, -
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O campo dado tem componentes
- As duas curvas têm o mesmo ponto inicial e final:
- Para
: e . - Para
: e .
- Para
- O que se pede: verificar se
. Ou seja, calcular (ou justificar) se as duas integrais são iguais.
Passo 2
Conceito e critério que vamos usar (explicado com calma).
- Uma forma prática de testar independência de caminho é verificar se existe uma função potencial
tal que Se tal existe (e o domínio for “bonzinho”, por exemplo todo ou uma região simplesmente conexa) então o campo é conservativo e a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais: . - Um teste rápido para campos bidimensionais com
e de classe é checar se Se isso vale em uma região simplesmente conexa, o campo é conservativo.
Vamos aplicar esse teste aqui.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando todos os passos):
Como
para todo
, o teste diz que o campo é conservativo em qualquer região onde essas derivadas são contínuas — e elas são contínuas em todo
, que é simplesmente conexa. Portanto existe uma potencial
e a integral entre
e
é independente do caminho.
Passo 3
Encontrar a função potencial
(passo a passo) para poder usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Começamos integrando
em relação a
:
Integramos em
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora impomos
. Calcule
a partir da expressão acima:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos
:
onde
é constante real (que não afeta as diferenças de
). Logo uma potencial válida é
Passo 4
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha usando a potencial
.
- Como o campo é conservativo, para qualquer curva
que vá de até vale:
Calculemos
e
(podemos tomar
pois cancela na diferença):
Portanto
Isso mostra que a integral entre
e
vale
e não depende do caminho (entre esses pontos), em concordância com o teste anterior.
Passo 5
Agora, para fixar o procedimento e treinar o cálculo direto na prova, vamos calcular explicitamente as duas integrais parametricamente e confirmar que dão o mesmo resultado.
Regra que vamos usar (expliquei antes, repito curto): se
então
Cálculo para
:
-
- Substituindo:
Logo o integrando é - Integrando de
a :
Passo 6
Cálculo para
:
-
- Substituindo nas componentes:
O integrando é
- Integrando de
a :
Passo 7
Conclusão final e interpretação:
- As duas integrais calculadas diretamente deram o mesmo valor,
. - Isso confirma que, no caso específico entre
e , a integral é independente do caminho (pelo menos entre as curvas dadas). - De forma mais geral, como
em e é simplesmente conexa, o campo é conservativo em toda e a integral de linha entre quaisquer dois pontos depende apenas dos pontos extremos.
Resposta
Sim.