Determine a capacitância dos seguintes capacitores, supondo que não existe um dielétrico entre as placas:
d) uma esfera isolada de raio R=0,80 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de uma esfera condutora isolada de raio R=0,80,cm, sem dielétrico (vácuo). Vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico externo, depois calcular o potencial na superfície e, por fim, aplicar a definição de capacitância C = Q/V.

Passo 2

Pela Lei de Gauss, o campo elétrico em um ponto externo à esfera (distância r\ge R) é
E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r^2},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

O potencial elétrico na superfície da esfera, tomando V(\infty)=0, vem de
V = -\int_{\infty}^{R}E(r)\,\mathrm{d}r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{R}.

Passo 4

Pela definição de capacitância,
C = \frac{Q}{V} = 4\pi\epsilon_0\,R.

Passo 5

Convertendo R=0,80,cm para metros, R=0,0080,m, e usando \epsilon_0=8,85\times10^{-12},F/m, obtemos
C = 4\pi \cdot 8,85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}\;\cdot 0,0080\,\mathrm{m} \approx 8,9\times10^{-13}\,\mathrm{F} \approx 0,89\,\mathrm{pF}.

Resposta

C\approx8,9\times10^{-13}\,\mathrm{F} (ou 0,89\,\mathrm{pF}).

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