Determine a capacitância dos seguintes capacitores, supondo que não existe um dielétrico entre as placas:
c) um capacitor esférico com raio interno r_{a}=0,20 c \mathrm{~m} e raio externo r_{b}=0,80 c \mathrm{~m};

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de um capacitor esférico sem dielétrico, com raio interno r_{a}=0,20\text{ cm} e raio externo r_{b}=0,80\text{ cm}. O conteúdo principal aqui é o uso da Lei de Gauss para achar o campo elétrico e depois relacionar a diferença de potencial à carga para obter a capacitância.

Passo 2

Primeiro, convertemos as medidas para o SI:
r_{a}=0,20\text{ cm}=0,0020\text{ m}, \quad r_{b}=0,80\text{ cm}=0,0080\text{ m}.
Pelo princípio de Gauss, fora da superfície interna o campo elétrico é
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} \quad(r_{a}<r<r_{b}).

Passo 3

A diferença de potencial entre as placas é
\Delta V=V(r_{b})-V(r_{a}) =-\int_{r_{a}}^{r_{b}}E(r)\,\mathrm{d}r =-\int_{r_{a}}^{r_{b}}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\mathrm{d}r =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr).

Passo 4

Por definição de capacitância \displaystyle C=\frac{Q}{\Delta V}. Logo,
C =\frac{Q}{\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\bigr)} =4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}} =4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{r_{a}\,r_{b}}{r_{b}-r_{a}}.

Passo 5

Substituímos r_{a}=0,0020\text{ m}, r_{b}=0,0080\text{ m} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}:
C =4\pi\,(8{,}854\times10^{-12})\, \frac{0,0020\cdot0,0080}{0,0080-0,0020} \approx2,97\times10^{-13}\,\mathrm{F}.

Resposta

A capacitância é aproximadamente 2,97\times10^{-13}\,\mathrm{F} (ou 0{,}30 pF).

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