P 3.2. Determine a característica de cada uma das seguintes matrizes:
D=[cccc2 & 0 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 0 3 & -1 & 3 & 4 5 & -3 & 5 & 10]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da matriz
D = 2 & 0 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 0 3 & -1 & 3 & 4 5 & -3 & 5 & 10
Para isso vamos calcular
chiD(lambda) = detl(D - lambda Ir)

Passo 2

Escrevemos a matriz D - lambda I:
D - lambda I = 2-lambda & 0 & 2 & 1 1 & 1-lambda & 1 & 0 3 & -1 & 3-lambda & 4 5 & -3 & 5 & 10-lambda

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Denotando
A1 = det 1-lambda & 1 & 0 -1 & 3-lambda & 4 -3 & 5 & 10-lambda , A3 = det 1 & 1-lambda & 0 3 & -1 & 4 5 & -3 & 10-lambda , A4 = det 1 & 1-lambda & 1 3 & -1 & 3-lambda 5 & -3 & 5 ,
temos
det(D-lambda I) = (2-lambda),A1 ;+;2,A3;-;A4

Passo 4

Cálculo de A1:
A1 = (1-lambda)det3-lambda & 45 & 10-lambda -1det-1 & 4-3 & 10-lambda
Note que
det3-lambda & 45 & 10-lambda = (3-lambda)(10-lambda)-20 = lambda^2-13lambda+10,
det-1 & 4-3 & 10-lambda = -10+lambda+12 = lambda+2
Logo
A1 = (1-lambda)(lambda^2-13lambda+10);-;(lambda+2) = -lambda^3+14lambda^2-24lambda+8

Passo 5

Cálculo de A3:
A3 = 1det-1 & 4-3 & 10-lambda -(1-lambda)det3 & 45 & 10-lambda
Já vimos detl[-1&4-3&10-lambdar]=lambda+2
e
det3 & 45 & 10-lambda =15-5(3-lambda) =10-3lambda
Então
A3 =(lambda+2)-(1-lambda)(10-3lambda) =-3lambda^2+14lambda-8

Passo 6

Cálculo de A4:
A4 = 1det-1 & 3-lambda-3 & 5 -(1-lambda)det3 & 3-lambda5 & 5 +1det3 & -15 & -3
Aqui
det-1 & 3-lambda-3 & 5 =4-3lambda, det3 & 3-lambda5 & 5=5lambda, det3 & -15 & -3=-4
Logo
A4 =(4-3lambda)-(1-lambda),5lambda-4 =5lambda^2-8lambda

Passo 7

Substituindo em det(D-lambda I):
det(D-lambda I) =(2-lambda)(-lambda^3+14lambda^2-24lambda+8) +2(-3lambda^2+14lambda-8) -(5lambda^2-8lambda)
Fazendo as multiplicações e somas de termos semelhantes resulta
chiD(lambda) =lambda^4 -16lambda^3 +41lambda^2 -20lambda

Resposta

chiD(lambda)=lambda^4 -16lambda^3 +41lambda^2 -20lambda.

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