Mostre que z1+z2=z1+z2 forall z1, z2 in C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a operação de conjugação em C é linear no sentido de soma, isto é,
z1+z2=z1+z2forall z1,z2inC
O conteúdo aqui é a definição de número complexo e de conjugado, e vamos usar a forma cartesiana para cada zk.

Passo 2

Escrevemos cada número complexo na forma cartesiana:
z1=x1+i,y1, z2=x2+i,y2,
onde x1,y1,x2,y2inR.

Passo 3

Somamos z1 e z2 diretamente:
z1+z2=(x1+i,y1)+(x2+i,y2) =(x1+x2)+i,(y1+y2)

Passo 4

Aplicamos agora a definição de conjugado: se w=a+i,b, então w=a-i,b. Assim,
,z1+z2, =(x1+x2)+i,(y1+y2) =(x1+x2)-i,(y1+y2)

Passo 5

Reagrupando termos,
(x1+x2)-i,(y1+y2) =(x1-i,y1)+(x2-i,y2) =z1+z2

Resposta

Portanto, mostramos que
z1+z2=z1+z2
para quaisquer z1,z2inC.

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