Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y).
Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de T ?
a) (1,2)
b) (-2,4)
c) (100,-200)
d) (0,0)
e) (1,5)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2toR^2 definida por
T(x,y) = (2x + y,;4x + 2y)
e pede para identificar quais dos vetores dados estão no núcleo de T, isto é, satisfazem T(x,y)=(0,0).

Passo 2

O núcleo de T é o conjunto de (x,y) tais que
2x + y = 0 e 4x + 2y = 0
Note que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira, logo basta resolver
2x + y = 0

Passo 3

Da equação 2x + y = 0 segue que
y = -2x
Portanto
ker(T) = (x,-2x)mid xinR

Passo 4

Testamos cada vetor:
  • Para (1,2): 2cdot1 + 2 = 4 neq 0, não está no núcleo.
  • Para (-2,4): 2cdot(-2) + 4 = 0, está no núcleo.
  • Para (100,-200): 2cdot100 + (-200) = 0, está no núcleo.
  • Para (0,0): 2cdot0 + 0 = 0, está no núcleo (sempre).
  • Para (1,5): 2cdot1 + 5 = 7 neq 0, não está no núcleo.

Resposta

b) (-2,4)
c) (100,-200)
d) (0,0)

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