Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{G}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\\\ -2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 4 & -2 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a característica (isto é, o posto) da matriz
G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ -2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 4 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos usar eliminação de Gauss para escalonar G e contar o número de linhas não nulas.

Passo 2

Primeiro escolhemos o pivô em G_{11}=1. Eliminamos abaixo:
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & -2 & -7 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô em G_{22}=3 permite zerar a entrada abaixo em (3,2):
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_2,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{11}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Na forma escalonada final, vemos três pivôs não nulos (um em cada linha). Portanto o posto de G é
\rank(G) = 3.

Resposta

A característica (posto) da matriz G é 3.

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