Utilizando o teorema de Rouché - Capelli, classificar e resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas:
\{\begin{array}{c}-x+y+2 z=1 \\\\ 2 x-y-z=1 \\\\ 3 x+2 y-z=2\end{array}\}\

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teorema de Rouché–Capelli para classificar o sistema linear
\begin{cases} -x + y + 2z = 1,\\\\ 2x - y - z = 1,\\\\ 3x + 2y - z = 2, \end{cases}
e, se possível, encontrar sua solução. O conteúdo envolve sistemas lineares, matrizes de coeficientes, matriz aumentada e critérios de existência e unicidade de solução via posto (rank).

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Pelo teorema de Rouché–Capelli, comparamos \mathrm{rank}(A) e \mathrm{rank}([A\mid b]). Se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=3, o sistema é possível e determinado. Como A é quadrada, basta verificar
\det(A) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -1\cdot\bigl((-1)(-1)-(-1)\cdot2\bigr) -1\cdot\bigl(2\cdot(-1)-(-1)\cdot3\bigr) +2\cdot\bigl(2\cdot2-(-1)\cdot3\bigr) =10\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)=3 e \mathrm{rank}([A\mid b])=3, portanto o sistema tem solução única.

Passo 3

Para resolver, escolhemos a primeira equação e isolamos y:
-x + y + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 2z + 1.

Passo 4

Substituímos y = x - 2z + 1 nas segunda e terceira equações:
Segunda:
2x - (x - 2z + 1) - z = 1 \;\Longrightarrow\; x + z = 2.
Terceira:
3x + 2(x - 2z + 1) - z = 2 \;\Longrightarrow\; 5x -5z = 0 \;\Longrightarrow\; x - z = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} x + z = 2,\\\ x - z = 0, \end{cases}
somamos as duas equações:
2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1,
e então z = x = 1.

Passo 6

Finalmente, voltamos em y = x - 2z + 1:
y = 1 - 2\cdot1 + 1 = 0.

Resposta

O sistema é possível e determinado, com solução
(x,y,z) = (1,\,0,\,1).

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