Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 4 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a “característica” da matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & -1 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix},
isto é, o posto (rank) de B. Para isso, vamos verificar o maior número de colunas linearmente independentes, por exemplo checando determinantes de submatrizes 3\times3.

Passo 2

Escolhemos as três primeiras colunas de B e montamos a submatriz
M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de M:
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 2 & 4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 4\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora, cada menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 2 & 4\end{pmatrix} =3\cdot4-(-1)\cdot2=12+2=14,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4-(-1)\cdot0=8,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2-3\cdot0=4.
Logo,
\det(M)=1\cdot14-(-1)\cdot8+1\cdot4=14+8+4=26\neq0.

Passo 4

Como \det(M)\neq0, as três colunas escolhidas são linearmente independentes, portanto \mathrm{rank}(B)\ge3. Mas B tem apenas 3 linhas, então o posto máximo é 3. Concluímos que
\mathrm{rank}(B)=3.

Resposta

A característica (posto) da matriz B é 3.

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