Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a característica da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix}
Isto significa achar o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)
e, a partir dele, os autovalores de A. Vamos usar expansão por cofactores para calcular o determinante de A-\lambda I.

Passo 2

Formamos A-\lambda I:
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & 3\\\\ 2 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & -4 & 6-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Expandimos \det(A-\lambda I) pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\[-4pt]-4&6-\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&6-\lambda\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}2&2-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix}.
Calculamos cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ -4&6-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(6-\lambda)+4 =\lambda^2-8\lambda+16,
\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&6-\lambda\end{pmatrix} =2(6-\lambda)-2=10-2\lambda,
\det\!\begin{pmatrix}2&2-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix} =2(-4)-2(2-\lambda)=-12+2\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+16) +2(10-2\lambda) +3(-12+2\lambda).]

Passo 4

Expandindo e somando termos semelhantes:
(1-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+16) =-\lambda^3+9\lambda^2-24\lambda+16,
2(10-2\lambda)+3(-12+2\lambda) =20-4\lambda-36+6\lambda=-16+2\lambda.
Logo
\det(A-\lambda I) =-\lambda^3+9\lambda^2-24\lambda+16-16+2\lambda =-\lambda^3+9\lambda^2-22\lambda =-\lambda\bigl(\lambda^2-9\lambda+22\bigr).
Como convém usar o polinômio característico na forma \det(\lambda I -A), obtemos
p(\lambda)=\lambda(\lambda^2-9\lambda+22).

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos
p(\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda^2-9\lambda+22)=0.
Isto dá \lambda_1=0 e as raízes de \lambda^2-9\lambda+22=0 que são
\lambda_{2,3}=\frac{9\pm\sqrt{81-88}}{2} =\frac{9\pm i\sqrt{7}}{2}.

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\lambda(\lambda^2-9\lambda+22) \quad\text{ou}\quad \det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda^2-9\lambda+22).
Os autovalores são
\lambda_1=0, \quad \lambda_{2,3}=\frac{9\pm i\sqrt{7}}{2}.

Exercícios relacionados