Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & -1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio característico da matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\\\ -1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é o cálculo do determinante de C - \lambda I, pois o polinômio característico é
p(\lambda)=\det\bigl(C - \lambda I\bigr).

Passo 2

Escrevemos C - \lambda I. Chamando a=1-\lambda e c=3-\lambda, temos
C - \lambda I = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 & 2\\\\ -1 & a & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & a & 0\\\\ 3 & 1 & -1 & c \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det(C-\lambda I), expandimos pela terceira linha \bigl[1,0,a,0\bigr]. Há só dois termos não nulos, em colunas 1 e 3, ambos com sinal +1. Logo
\det(C-\lambda I) = 1\cdot M_{31} + a\cdot M_{33},
onde M_{31} é o menor afastando a linha 3 e coluna 1, e M_{33} o menor afastando a linha 3 e coluna 3.

Passo 4

Calculamos o menor M_{31} na matriz de dimensão 3 obtida das colunas 2,3,4 e linhas 1,2,4:
M_{31} =\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\ a & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & c \end{pmatrix} =2(c+1)-(a c-1)+2(-a-1) =2c - a c -2a +1.
E o menor M_{33} na matriz das colunas 1,2,4 e linhas 1,2,4:
M_{33} =\det\begin{pmatrix} a & 2 & 2\\\\ -1 & a & 1\\\\ 3 & 1 & c \end{pmatrix} =a^2c -7a +2c+4.

Passo 5

Agora
\det(C-\lambda I) =(2c - a c -2a +1)+a\,(a^2c -7a +2c+4).
Substituindo a=1-\lambda e c=3-\lambda, expandimos e reorganizamos em potências de \lambda. O resultado é
\det(C-\lambda I) =\lambda^4 -6\lambda^3 +6\lambda^2 -4\lambda +8.

Resposta

O polinômio característico de C é
p(\lambda)=\lambda^4 -6\lambda^3 +6\lambda^2 -4\lambda +8.

Exercícios relacionados