Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 4 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz \mathrm{D}\in\mathbb{R}^{4\times3}
\mathrm{D} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\[6pt] 0 & 3 & 1 \\[6pt] -1 & 2 & 1 \\[6pt] 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede sua característica, que aqui corresponde ao posto (rank) da matriz, ou seja, o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes.]

Passo 2

Para determinar o posto usamos o conceito de menor não nulo: se existir algum menor de ordem 3 não nulo, então \mathrm{rank}(\mathrm{D})=3. Como a matriz tem apenas 3 colunas, o posto máximo possível é 3.

Passo 3

Escolhemos as três primeiras linhas e calculamos o determinante do subbloco
M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 3 & 1 \\[4pt] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de M é
\det(M) = 2\bigl(3\cdot1 - 1\cdot2\bigr) - 1\bigl(0\cdot1 - 1\cdot(-1)\bigr) -1\bigl(0\cdot2 - 3\cdot(-1)\bigr).]

Passo 4

Calculando cada parte:
2\bigl(3 - 2\bigr) = 2,\quad -1\bigl(0 +1\bigr) = -1,\quad -1\bigl(0 +3\bigr) = -3.
Somando,
\det(M) = 2 - 1 - 3 = -2 \neq 0.
Como encontramos um menor de ordem 3 não nulo, concluímos que as 3 colunas de \mathrm{D} são linearmente independentes.

Resposta

\mathrm{rank}(\mathrm{D}) = 3

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