Determine a carga elétrica encerrada no volume
e
m , sabendo que a densidade de carga é
Passo 1
O problema pede que eu determine a carga elétrica total contida no volume descrito pelas coordenadas:
onde a densidade volumétrica de carga é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio do volume está em coordenadas cilíndricas com limites para
, e exatamente como acima. - A densidade
depende apenas de e , não depende de . - A pergunta é: qual é a carga total
contida nesse volume?
Passo 2
Como temos variáveis
e o domínio é um cilindro anelar (região em
), a forma natural de montar a integral tripla é em coordenadas cilíndricas. Vou explicar rapidinho por que o elemento de volume é diferente do caso cartesiano:
- Em coordenadas cilíndricas, os pontos são dados por
, onde é a distância radial ao eixo , é o ângulo azimutal e é a altura. - O elemento de volume em cilíndricas é
Esse fator
aparece porque, para um pequeno incremento angular
, o arco correspondente na direção circunferencial tem comprimento
; multiplicando pelas variações nas outras direções obtemos o pequeno volume.
A carga total
é a integral da densidade sobre o volume:
Substituindo
e
,
Passo 3
Vou simplificar a integral observando que a expressão é separável:
é produto de funções que dependem de variáveis diferentes (
,
e
). Então podemos integrar em qualquer ordem conveniente; escolho a ordem
, depois
, depois
.
Escrevo a integral com as constantes colocadas de forma clara:
Ao integrar em
primeiro,
e
são constantes em relação a
. Calculo a integral interna:
Portanto a integral reduz para
Passo 4
Agora integro em
. A função
é independente de
, então:
Assim a integral fica apenas em
:
Passo 5
Para calcular
uso a identidade de redução (fórmula do ângulo duplo):
Explico: essa fórmula é útil porque integra-se facilmente
. Substituindo,
Avalio em
e
:
- Para
: e . - Para
: ambos os termos são zero.
Assim
Multiplicando por
:
Faço a simplificação aritmética:
Portanto