Determine a carga elétrica encerrada no volume 1 \leq r \leq 3 \mathrm{~m}, 0 \leq \varphi \leq \pi / 3 e 0 \leq z \leq 2 m , sabendo que a densidade de carga é \rho=2 z \sin ^{2} \varphi\left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O problema pede que eu determine a carga elétrica total contida no volume descrito pelas coordenadas:
1 \leq r \leq 3\\ \mathrm{m},\qquad 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{3},\qquad 0 \leq z \leq 2\\ \mathrm{m}
onde a densidade volumétrica de carga é dada por
\rho(r,\varphi,z)=2\,z\,\sin^{2}\!\varphi\quad\text{(C/m}^3\text{)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio do volume está em coordenadas cilíndricas com limites para r, \varphi e z exatamente como acima.
  • A densidade \rho depende apenas de z e \varphi, não depende de r.
  • A pergunta é: qual é a carga total Q contida nesse volume?

Passo 2

Como temos variáveis r,\varphi,z e o domínio é um cilindro anelar (região em r,\varphi,z), a forma natural de montar a integral tripla é em coordenadas cilíndricas. Vou explicar rapidinho por que o elemento de volume é diferente do caso cartesiano:
  • Em coordenadas cilíndricas, os pontos são dados por (r,\varphi,z), onde r é a distância radial ao eixo z, \varphi é o ângulo azimutal e z é a altura.
  • O elemento de volume em cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\varphi\,dz.
Esse fator r aparece porque, para um pequeno incremento angular d\varphi, o arco correspondente na direção circunferencial tem comprimento r\,d\varphi; multiplicando pelas variações nas outras direções obtemos o pequeno volume.
A carga total Q é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\iiint_{V}\rho\,dV.
Substituindo \rho e dV,
Q=\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\int_{r=1}^{3}\int_{z=0}^{2} \bigl(2\,z\,\sin^{2}\!\varphi\bigr)\, r\,dz\,dr\,d\varphi.

Passo 3

Vou simplificar a integral observando que a expressão é separável: 2\,z\,\sin^{2}\!\varphi\cdot r é produto de funções que dependem de variáveis diferentes ( z, \varphi e r). Então podemos integrar em qualquer ordem conveniente; escolho a ordem z, depois r, depois \varphi.
Escrevo a integral com as constantes colocadas de forma clara:
Q=\int_{0}^{\pi/3}\int_{1}^{3}\int_{0}^{2} 2\,z\,r\,\sin^{2}\!\varphi \; dz\,dr\,d\varphi.
Ao integrar em z primeiro, \sin^{2}\!\varphi e r são constantes em relação a z. Calculo a integral interna:
\int_{0}^{2} 2\,z\,dz = \left[z^{2}\right]_{0}^{2} = 2^{2}-0^{2}=4.
Portanto a integral reduz para
Q=\int_{0}^{\pi/3}\int_{1}^{3} 4\,r\,\sin^{2}\!\varphi \; dr\,d\varphi.

Passo 4

Agora integro em r. A função \sin^{2}\!\varphi é independente de r, então:
\int_{1}^{3} 4\,r\,dr = 4\cdot\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{1}^{3} = 4\cdot\frac{1}{2}\bigl(3^{2}-1^{2}\bigr)=2\cdot(9-1)=2\cdot 8=16.
Assim a integral fica apenas em \varphi:
Q=\int_{0}^{\pi/3} 16\,\sin^{2}\!\varphi \; d\varphi = 16\int_{0}^{\pi/3}\sin^{2}\!\varphi \; d\varphi.

Passo 5

Para calcular \int \sin^{2}\!\varphi \; d\varphi uso a identidade de redução (fórmula do ângulo duplo):
\sin^{2}\!\varphi = \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}.
Explico: essa fórmula é útil porque integra-se facilmente \cos(2\varphi). Substituindo,
\int_{0}^{\pi/3}\sin^{2}\!\varphi \; d\varphi = \int_{0}^{\pi/3}\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\; d\varphi = \frac{1}{2}\left[\varphi - \frac{\sin(2\varphi)}{2}\right]_{0}^{\pi/3}.
Avalio em \varphi=\pi/3 e \varphi=0:
  • Para \varphi=\pi/3: \varphi/2 = \pi/6 e \sin(2\varphi)=\sin(2\pi/3)=\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para \varphi=0: ambos os termos são zero.
Assim
\int_{0}^{\pi/3}\sin^{2}\!\varphi \; d\varphi = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}.
Multiplicando por 16:
Q = 16\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right).
Faço a simplificação aritmética:
16\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{16\pi}{6}=\frac{8\pi}{3},\qquad 16\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}.
Portanto
Q=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\quad\text{\text{(C)}}.

Resposta

\displaystyle Q=\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\\ \mathrm{C}

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