Inicialmente em repouso, uma pequena esfera de cobre com massa de 3,00 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} e carga de 5,00 \times 10^{-4} \mathrm{C} é acelerada por uma diferença de potencial de 7000 V antes de entrar em um campo magnético de magnitude 4,00 \mathrm{~T}, perpendicular à sua velocidade. Qual é o raio de curvatura do movimento da esfera no campo magnético? (Resposta em m e com duas casas decimais)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o raio da curva descrita pela esfera no campo magnético:
  • massa da esfera: m = 3,00 \times 10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
  • carga da esfera: q = 5,00 \times 10^{-4}\\ \mathrm{C}.
  • diferença de potencial que acelera a esfera: \Delta V = 7000\\ \mathrm{V}.
  • campo magnético, perpendicular à velocidade: B = 4,00\\ \mathrm{T}.
  • Condição inicial: a esfera parte do repouso antes de ser acelerada pela diferença de potencial.
    O que se pede: o raio de curvatura r do movimento da esfera dentro do campo magnético (resposta em metros, com duas casas decimais).

Passo 2

Entendimento físico e cálculo da velocidade: quando a partícula de carga q é acelerada por uma diferença de potencial \Delta V, ela ganha energia cinética igual ao trabalho elétrico recebido. A equação é
\frac{1}{2}\,m v^{2} = q\,\Delta V.
Explicando cada termo:
  • \frac{1}{2}m v^{2} é a energia cinética final da esfera; m é a massa e v a velocidade final.
  • q\,\Delta V é o trabalho feito pelo campo elétrico (energia fornecida pela diferença de potencial).
    Isolando v obtemos
v = \sqrt{\frac{2 q\,\Delta V}{m}}.
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro calcule o numerador dentro da raiz:
2 q\,\Delta V = 2 \times \left(5{,}00\times 10^{-4}\right) \times 7000 = 7{,}00.
Em seguida dividimos pelo m:
\frac{2 q\,\Delta V}{m} = \frac{7{,}00}{3{,}00\times 10^{-6}} = 2{,}333333\ldots \times 10^{6}.
Tomando a raiz quadrada:
v = \sqrt{2{,}333333\ldots \times 10^{6}} \approx 1527{,}525\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando quando necessário podemos usar v \approx 1527{,}53\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 3

Força magnética e movimento circular: ao entrar no campo magnético B com velocidade perpendicular a ele, a esfera sofre a força magnética dada pela magnitude da força de Lorentz:
F_B = q\,v\,B.
Essa força é sempre perpendicular à velocidade e atua como força centrípeta, responsável por manter o movimento circular. A força centrípeta necessária para manter uma partícula de massa m com velocidade v descrevendo um círculo de raio r é
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r}.
Igualando a força magnética com a centrípeta (pois a força magnética faz o papel de centrípeta):
q\,v\,B = \frac{m v^{2}}{r}.
Podemos simplificar um fator v (a velocidade não é zero), ficando a fórmula para o raio:
r = \frac{m v}{q B}.
Aqui:
  • r é o raio da trajetória circular,
  • m massa, v velocidade (já calculada), q carga e B intensidade do campo magnético.

Passo 4

Substituição numérica para obter r. Usando m = 3{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg}, v \approx 1527{,}525\\ \mathrm{m/s}, q = 5{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{C} e B = 4{,}00\\ \mathrm{T}:
Primeiro calcule o numerador m v:
m v = \left(3{,}00\times 10^{-6}\right)\times 1527{,}525 \approx 0{,}0045825758\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora o denominador q B:
q B = \left(5{,}00\times 10^{-4}\right)\times 4{,}00 = 2{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{C\cdot T}.
Dividindo:
r = \frac{0{,}0045825758}{2{,}00\times 10^{-3}} \approx 2{,}2912879\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido na questão) obtemos r \approx 2{,}29\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo didático rápido (para levar pra prova): passos a aplicar em questões semelhantes
  1. Usar \frac{1}{2} m v^{2} = q \Delta V para achar v.
  2. Usar q v B = \frac{m v^{2}}{r} e simplificar para r = \dfrac{m v}{q B}.
  3. Substituir números com atenção às potências de 10 e às unidades; arredondar o resultado final conforme pedido.

Resposta

2{,}29\\ \mathrm{m}

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