Determine a carga q(t) no capacitor para t>0 se a carga inicial é q_{0}, E(t)=R=0, e se inicialmente não há corrente circulando no circuito.

Passo 1

O enunciado pede a carga q(t) num circuito formado por um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C, sem resistência R=0 e sem fonte externa E(t)=0, para t>0. A carga inicial é q(0)=q_{0} e a corrente inicial é nula, ou seja, i(0)=0. O conteúdo necessário é montar a equação diferencial pelo Lema de Kirchhoff e resolver a equação de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Pelo Lema das malhas de Kirchhoff, somando as quedas de tensão no indutor e no capacitor, como não há fonte nem resistência, obtemos
L\,\frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0.
Como a corrente é a derivada da carga, ou seja, i=\frac{dq}{dt}, podemos reescrever
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é
L\,r^2 + \frac{1}{C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 + \frac{1}{LC} = 0.
As raízes são r = \pm j\omega_{0}, com
\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Passo 4

Portanto, a solução geral da ODE é
q(t) = A\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr) + B\sin\bigl(\omega_{0}t\bigr).

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
  1. q(0)=q_{0} implica
q(0)=A\cos0 + B\sin0 = A = q_{0}.
  1. i(0)=\frac{dq}{dt}(0)=0 implica
\frac{dq}{dt}(t) = -A\,\omega_{0}\sin(\omega_{0}t) + B\,\omega_{0}\cos(\omega_{0}t),
avaliando em t=0:
\frac{dq}{dt}(0) = B\,\omega_{0} = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.

Passo 6

Com A=q_{0} e B=0, a solução específica fica
q(t) = q_{0}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr) \quad\text{com}\quad \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Resposta

q(t) = q_{0}\,\cos\!\bigl(\tfrac{t}{\sqrt{LC}}\bigr).

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