Determine a carga
no capacitor para
se a carga inicial é
, e se inicialmente não há corrente circulando no circuito.
Passo 1
O enunciado pede a carga
num circuito formado por um indutor de indutância
e um capacitor de capacitância
, sem resistência
e sem fonte externa
, para
. A carga inicial é
e a corrente inicial é nula, ou seja,
. O conteúdo necessário é montar a equação diferencial pelo Lema de Kirchhoff e resolver a equação de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Pelo Lema das malhas de Kirchhoff, somando as quedas de tensão no indutor e no capacitor, como não há fonte nem resistência, obtemos
Como a corrente é a derivada da carga, ou seja,
, podemos reescrever
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é
As raízes são
, com
Passo 4
Portanto, a solução geral da ODE é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais:
-
implica
-
implica
avaliando em
:
Passo 6
Com
e
, a solução específica fica