Determine a carga radial que pode ser suportada pelo rolamento de esferas de contato angular \mathrm{N}^{\circ} 70207 para uma vida de 5000 horas a 900 rpm com 90 \% de confiabilidade e sem impactos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga radial que o rolamento de esferas de contato angular nº 70207 pode suportar para uma vida de 5000 horas a 900 rpm, com 90% de confiabilidade, sem impactos. Dados extraídos do enunciado:
  • Tempo de vida requerido: 5000 horas.
  • Velocidade de rotação: 900 rpm.
  • Confiabilidade exigida: 90\%.
  • Não há impactos (ou seja, nenhum fator de serviço por choque a aplicar).
  • Rolamento: esferas de contato angular \mathrm{N}^{\circ}\\\ 70207.
    Observação importante: o enunciado não fornece o valor do módulo dinâmico de carga do rolamento (a constante C que vem do catálogo/ficha técnica). Esse valor é necessário para obter um número em newtons. Vou mostrar o procedimento completo e a fórmula final em função de C; com o C do catálogo obtém-se facilmente a carga numérica.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática):
  • A vida básica nominal L_{10} de um rolamento é a vida na qual 90\% dos rolamentos de uma amostra ainda estarão operando (ou seja, corresponde à confiabilidade 90\%). Portanto, o enunciado que pede 90% de confiabilidade corresponde a um problema de tipo L_{10}.
  • Para rolamentos de esferas, a relação entre a carga dinâmica básica C, a carga equivalente dinâmica P e a vida L_{10} (em milhões de rotações) é dada por:
L_{10} = \left(\dfrac{C}{P}\right)^{p},
onde:
  • L_{10} é a vida básica nominal em milhões de rotações;
  • C é a capacidade de carga dinâmica básica (em N), valor de catálogo do rolamento;
  • P é a carga dinâmica equivalente (em N) aplicada ao rolamento;
  • p é o expoente de vida: para rolamentos de esferas p=3 (explicação: a teoria de Lundberg–Palmgren mostra esse expoente para elementos rolantes esféricos).
  • Como estamos pedindo a vida para 90% de confiabilidade, não há fator de confiabilidade adicional: L_{10} já representa 90%.

Passo 3

Converter a vida de horas para milhões de rotações (passo numérico):
  • Número de rotações totais:
\text{rotações} = \text{rpm}\times\text{horas}\times 60.çõ
Substituindo:
\text{rotações} = 900\times 5000\times 60 = 270\,000\,000\\ \text{rotações}.çõçõ
  • Em milhões de rotações:
L_{10} = \dfrac{270\,000\,000}{1\,000\,000} = 270.
Portanto L_{10}=270 (milhões de rotações).

Passo 4

Isolar P na fórmula da vida (álgebra passo a passo):
Partimos de
L_{10} = \left(\dfrac{C}{P}\right)^{p}.
Como p=3, temos
270 = \left(\dfrac{C}{P}\right)^{3}.
Tirando raiz cúbica em ambos os lados e isolando P:
\sqrt[3]{270} = \dfrac{C}{P} \quad\Rightarrow\quad P = \dfrac{C}{\sqrt[3]{270}}.

Passo 5

Calcular a constante numérica (aproximação):
  • Observe que 270 = 27\cdot 10, logo \sqrt[3]{270}=\sqrt[3]{27}\,\sqrt[3]{10}=3\cdot 10^{1/3}. Numericamente \sqrt[3]{10}\approx 2{,}15443469, então
\sqrt[3]{270}\approx 3\times 2{,}15443469 \approx 6{,}46330407.
  • Assim
P \approx \dfrac{C}{6{,}46330407}\approx 0{,}1547\,C.

Passo 6

Interpretação física e observações práticas (como usar isso na prova):
  • P aqui é a carga dinâmica equivalente. Para o caso de carga puramente radial sobre um rolamento de esferas de contato angular (sem carga axial), a fórmula de equivalência normalmente é P = X F_r + Y F_a. Com F_a=0 (sem carga axial) resulta P = X F_r. Para a maioria das tabelas, com F_a=0 tem-se X=1. Portanto, P coincide com a carga radial F_r. Ou seja, a expressão encontrada fornece diretamente a carga radial admissível.
  • Não houve necessidade de fator de confiabilidade extra porque L_{10} já corresponde a 90% de confiabilidade.
  • Não foi aplicado fator de choque/impacto porque o enunciado diz “sem impactos”. Se houvesse choques, multiplicaria-se P admissível por um fator de serviço apropriado (ou reduziria-se C efetivo), conforme recomendações do fabricante.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para você ver como aplicar quando tiver C do catálogo):
  • Suponha que, no catálogo, para o rolamento 70207 esteja indicado C=12\,000\\ \text{N} (exemplo hipotético). Então
P \approx 0{,}1547\times 12\,000 \approx 1\,856{,}4\\ \text{N}.
Isto mostra o procedimento: pegar C do catálogo e multiplicar por 0{,}1547.

Resposta

P \approx 0{,}1547\,C

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