Um eixo estriado evolvental deve transmitir 30 kW de potência a 150 rpm . O eixo será acoplado em uma engrenagem com largura de 30 mm . Encontre o diâmetro primitivo da estria se o eixo é feito de aço com \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=500 \mathrm{MPa}. Considere 25 \% de dentes em contato e FS =2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Potência a transmitir: P=30\\ \text{kW}=30000\\ \text{W}.
  • Rotação: n=150\\ \text{rpm}.
  • Largura da engrenagem / face width: b=30\\ \text{mm}=0{,}03\\ \text{m}.
  • Material: aço com \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=500\\ \text{MPa}.
  • Fração de dentes em contato: 25\% (ou seja, 0{,}25 da circunferência está efetivamente carregada).
  • Fator de segurança: \mathrm{FS}=2.
    O que se pede: encontrar o diâmetro primitivo da estria (ou seja, d_p) que garanta transmissão segura da potência assumindo que o esforço principal de falha é cisalhamento nas estrias.

Passo 2

Calcular o torque transmitido no eixo a partir de P e n. A relação entre potência, torque e velocidade angular é
P = T\omega,
onde \omega = \dfrac{2\pi n}{60}. Logo
T = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{P}{2\pi n/60} = \dfrac{30\,P}{\pi n}.
Substituindo números:
T = \dfrac{30\cdot 30000}{\pi\cdot 150} = \dfrac{900000}{150\pi} = \dfrac{6000}{\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 1909{,}86\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário rápido: aqui calculamos o torque real que as estrias precisam resistir.

Passo 3

Decidir critério de resistência e obter tensão de cisalhamento admissível.
Para material dúctil costuma-se relacionar a resistência à tração de escoamento \mathrm{S}_y com uma resistência à cisalhamento admissível usando a hipótese de von Mises (tensão de cisalhamento de escoamento \tau_y=\mathrm{S}_y/\sqrt{3}). Aplicando o fator de segurança:
\tau_{\text{adm}}=\frac{\mathrm{S}_y}{\sqrt{3}\,\mathrm{FS}}.
Substituindo:
\tau_{\text{adm}}=\frac{500\\ \text{MPa}}{\sqrt{3}\cdot 2}=\frac{500}{1{,}73205\cdot 2}\\ \text{MPa}\approx 144{,}34\\ \text{MPa}.
Explicação curta: escolhi von Mises porque é comum para escoamento dúctil; se usasse outro critério (ex.: Tresca) o número mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza e o procedimento seriam os mesmos.

Passo 4

Modelo de distribuição da força entre dentes (derivação didática).
  • Circular pitch p e espessura de dente ao círculo primitivo: a espessura circular do dente ao círculo primitivo é p/2.
  • Se há z dentes, o diâmetro primitivo é d_p = m z e o passo circular é p=\pi m. Não conhecemos m nem z, mas podemos somar as espessuras dos dentes que estão em contato: se 25\% dos dentes estão em contato, o número de dentes carregados é 0{,}25z. A soma das espessuras dos dentes carregados é
\text{soma das espessuras}=(0{,}25z)\cdot\frac{p}{2} = \frac{z}{4}\cdot\frac{\pi m}{2} = \frac{\pi m z}{8}=\frac{\pi d_p}{8}.
Surpresa conveniente: o resultado não depende de m nem de z. Portanto a largura total efetiva (na direção circunferencial) que participa na transferência de esforço de cisalhamento é \dfrac{\pi d_p}{8}. Multiplicando pela largura axial b obtém-se a área de cisalhamento total aproximada das estrias:
A_s = b\cdot\frac{\pi d_p}{8}.
Comentário: essa é uma aproximação clássica simplificada para estimar a área de cisalhamento das estrias quando se conhece a fração de dentes em contato e assume-se espessura de dente igual a p/2.

Passo 5

Relação torque ⇄ tensão de cisalhamento nas estrias.
A força tangencial total que transmite o torque é igual à tensão de cisalhamento admissível vezes a área de cisalhamento:
F_t = \tau_{\text{adm}}\;A_s.
O torque corresponde a essa força tangencial vezes o raio primitivo r_p=d_p/2:
T = F_t \cdot r_p = \tau_{\text{adm}}\,A_s\cdot\frac{d_p}{2}.
Substituindo A_s=b\cdot\frac{\pi d_p}{8}:
T = \tau_{\text{adm}}\left(b\cdot\frac{\pi d_p}{8}\right)\frac{d_p}{2} = \frac{\pi \tau_{\text{adm}} b d_p^2}{16}.
Isolando d_p:
d_p^2 = \frac{16\,T}{\pi \tau_{\text{adm}} b}, \qquad d_p = \sqrt{\frac{16\,T}{\pi \tau_{\text{adm}} b}}.
Esta fórmula é muito prática: junta torque, largura b, fração de dentes em contato (via o fator 1/8 obtido para 25\%) e tensão admissível.

Passo 6

Substituir valores numéricos e calcular d_p. Usando T\approx 1909{,}86\\ \text{N}\cdot\text{m}, \tau_{\text{adm}}=144{,}34\\ \text{MPa}=144{,}34\times10^{6}\\ \text{Pa} e b=0{,}03\\ \text{m}:
d_p = \sqrt{\frac{16\cdot 1909{,}86}{\pi\cdot 144{,}34\times10^{6}\cdot 0{,}03}}\\ \text{m}.
Calculemos passo a passo:
16\cdot 1909{,}86 = 30557{,}76,
\pi\cdot 144{,}34\times10^{6}\cdot 0{,}03 \approx 13{,}605{,}0\times10^{3},
d_p^2 \approx \frac{30557{,}76}{13{,}605{,}038{,}27}\approx 0{,}0022457\\ \text{m}^2,
d_p \approx 0{,}04739\\ \text{m}=47{,}39\\ \text{mm}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento prático.
  • O diâmetro primitivo calculado é d_p\approx 47{,}4\\ \text{mm}.
  • Em projeto prático, arredonda-se para cima para um valor comercial ou para garantir margem extra (por exemplo d_p=48\\ \text{mm} ou 50\\ \text{mm} dependendo disponibilidade e considerações de acabamento/concentração de tensão).
  • Observação: usei a hipótese de von Mises para converter \mathrm{S}_y em resistência ao cisalhamento e uma aproximação simplificada da área de cisalhamento das estrias. Se quisesse mais refinamento, poderia incluir fatores de concentração, verificação por falha dentária (compressão no flanco), ou usar critério de Tresca — tudo isso mudaria levemente o resultado.

Resposta

d_p \approx 47{,}4\\ \text{mm}

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