Um eixo estriado evolvental deve transmitir 30 kW de potência a 150 rpm . O eixo será acoplado em uma engrenagem com largura de 30 mm . Encontre o diâmetro primitivo da estria se o eixo é feito de aço com
. Considere
de dentes em contato e FS
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Potência a transmitir:
. - Rotação:
. - Largura da engrenagem / face width:
. - Material: aço com
. - Fração de dentes em contato:
(ou seja, da circunferência está efetivamente carregada). - Fator de segurança:
.
O que se pede: encontrar o diâmetro primitivo da estria (ou seja,) que garanta transmissão segura da potência assumindo que o esforço principal de falha é cisalhamento nas estrias.
Passo 2
Calcular o torque transmitido no eixo a partir de
e
. A relação entre potência, torque e velocidade angular é
onde
. Logo
Substituindo números:
Comentário rápido: aqui calculamos o torque real que as estrias precisam resistir.
Passo 3
Decidir critério de resistência e obter tensão de cisalhamento admissível.
Para material dúctil costuma-se relacionar a resistência à tração de escoamento com uma resistência à cisalhamento admissível usando a hipótese de von Mises (tensão de cisalhamento de escoamento
). Aplicando o fator de segurança:
Para material dúctil costuma-se relacionar a resistência à tração de escoamento
Substituindo:
Explicação curta: escolhi von Mises porque é comum para escoamento dúctil; se usasse outro critério (ex.: Tresca) o número mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza e o procedimento seriam os mesmos.
Passo 4
Modelo de distribuição da força entre dentes (derivação didática).
- Circular pitch
e espessura de dente ao círculo primitivo: a espessura circular do dente ao círculo primitivo é . - Se há
dentes, o diâmetro primitivo é e o passo circular é . Não conhecemos nem , mas podemos somar as espessuras dos dentes que estão em contato: se dos dentes estão em contato, o número de dentes carregados é . A soma das espessuras dos dentes carregados é
Surpresa conveniente: o resultado não depende de
nem de
. Portanto a largura total efetiva (na direção circunferencial) que participa na transferência de esforço de cisalhamento é
. Multiplicando pela largura axial
obtém-se a área de cisalhamento total aproximada das estrias:
Comentário: essa é uma aproximação clássica simplificada para estimar a área de cisalhamento das estrias quando se conhece a fração de dentes em contato e assume-se espessura de dente igual a
.
Passo 5
Relação torque ⇄ tensão de cisalhamento nas estrias.
A força tangencial total que transmite o torque é igual à tensão de cisalhamento admissível vezes a área de cisalhamento:
A força tangencial total que transmite o torque é igual à tensão de cisalhamento admissível vezes a área de cisalhamento:
O torque corresponde a essa força tangencial vezes o raio primitivo
:
Substituindo
:
Isolando
:
Esta fórmula é muito prática: junta torque, largura
, fração de dentes em contato (via o fator
obtido para
) e tensão admissível.
Passo 6
Substituir valores numéricos e calcular
. Usando
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Passo 7
Interpretação e arredondamento prático.
- O diâmetro primitivo calculado é
. - Em projeto prático, arredonda-se para cima para um valor comercial ou para garantir margem extra (por exemplo
ou dependendo disponibilidade e considerações de acabamento/concentração de tensão). - Observação: usei a hipótese de von Mises para converter
em resistência ao cisalhamento e uma aproximação simplificada da área de cisalhamento das estrias. Se quisesse mais refinamento, poderia incluir fatores de concentração, verificação por falha dentária (compressão no flanco), ou usar critério de Tresca — tudo isso mudaria levemente o resultado.