Um mancal de deslizamento com
e uma folga diametral de
suporta uma carga de 1800 N enquanto gira a 1800 rpm e transmite 2 kW de potência. Óleo SAE 10 é utilizado, com uma temperatura média de filme de
.
a) Calcule o atrito pela equação de Petroff e a eficiência do mancal.
b) Qual deve ser a temperatura de operação para uso de óleo SAE 40 se a eficiência deve permanecer igual?
a) Calcule o atrito pela equação de Petroff e a eficiência do mancal.
b) Qual deve ser a temperatura de operação para uso de óleo SAE 40 se a eficiência deve permanecer igual?
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Comprimento do mancal:
. - Diâmetro do mancal:
. - Folga diametral:
(porta‑folga total em diâmetro). - Carga radial suportada:
. - Velocidade de rotação:
. - Potência transmitida pelo eixo:
. - Óleo usado no item (a): SAE 10, temperatura média do filme
.
Conversões para SI (vou converter tudo para metros, segundos etc.):
A folga radial (metade da folga diametral) é
Velocidade em revoluções por segundo:
O que o enunciado pede:
- (a) “Calcule o atrito pela equação de Petroff e a eficiência do mancal.” — vou calcular o atrito (torque de atrito, potência perdida por atrito e coeficiente de atrito) usando a equação de Petroff e então a eficiência do conjunto.
- (b) “Qual deve ser a temperatura de operação para uso de óleo SAE 40 se a eficiência deve permanecer igual?” — achar a temperatura tal que o óleo SAE 40 tenha viscosidade (dinâmica) que gere a mesma perda por atrito.
Observação: o enunciado não deu diretamente a viscosidade dinâmica do óleo; vou usar valores típicos de viscosidade cinemática para óleos monograduados e densidade típica de óleo para converter em viscosidade dinâmica. Vou explicitar esses valores e o método no passo apropriado.
Passo 2
Apresentação e dedução da equação de Petroff que vamos usar (aula curta e clara).
Ideia física (problema simples, lubrificação hidrodinâmica em condição concêntrica): se o eixo está praticamente centrado (petroff assume excentricidade pequena ou nula), o escoamento no filme é basicamente cisalhamento (Couette) e a tensão de cisalhamento média é
onde:
-
é a viscosidade dinâmica do óleo ( ), -
é a velocidade tangencial da superfície do eixo ( ), -
é a espessura do filme (aqui , a folga radial).
A velocidade tangencial do eixo de raio
girando a
rev/s é
A força tangencial de atrito total é a tensão multiplicada pela área de superfície cilíndrica:
O torque de atrito é
. Substituindo
e simplificando obtemos (etapas mostradas):
Voltando a usar
(logo
):
Potência perdida por atrito é a potência rotacional equivalente ao torque:
Coeficiente de atrito (adimensional, força tangencial sobre carga radial) também é útil:
(ou usando a expressão simplificada obtém-se)
onde
é a pressão média de contacto — isso ajuda a interpretar fisicamente.
Essas são as fórmulas de Petroff que vamos aplicar. Em todas as fórmulas
está em rev/s,
em metros,
em
.
Passo 3
Determinar a viscosidade do óleo SAE 10 à temperatura média do filme
.
Explicação didática: normalmente os dados de viscosidade vêm em tabelas: dá‑se a viscosidade cinemática
(em
ou cSt) a
e a
para cada grau SAE. A relação
não é linear em
, usa‑se log‑interpolação (isto é, interpolar
com
) ou curvas de Vogel/Walther. Aqui vou usar valores típicos de referência para óleos monograduados e fazer interpolação logarítmica (procedimento padrão em engenharia).
Valores adotados (típicos, “tabelados” para óleos monograduados):
- Para SAE 10:
e . - Para SAE 40:
e .
Obs.: esses números são valores típicos usados em problemas práticos; tabelas concretas de fabricantes podem variar um pouco. Também assumo densidade típica
para converter
em
.
Agora: calcular
de SAE 10 a
por interpolação logarítmica entre
e
.
Defina:
Com
e
:
Inclinação:
Para
(diferença
deg):
logo
Converter para viscosidade dinâmica:
Resumo usado: para SAE 10 a
adotei
.
Passo 4
Aplicar as fórmulas e calcular o atrito (torque, potência perdida, força de atrito, coeficiente de atrito) e então a eficiência.
Relembrando fórmulas que vamos usar:
Substituindo os números (tudo em SI;
,
,
,
,
).
Cálculo do torque:
Fazendo as contas (mostro as operações principais):
Numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
Potência perdida:
Usando
e os outros valores:
(Verificação rápida:
com
.)
Força tangencial de atrito e coeficiente:
Eficiência:
Interpretação curta: com SAE 10 a
obtém‑se perda por atrito em torno de
, o que reduz a eficiência para cerca de
.
Passo 5
Item (b): temperatura necessária para SAE 40 manter a mesma eficiência.
Raciocínio simples e didático: para as mesmas dimensões e velocidade, a expressão de perda por atrito
é proporcional à viscosidade dinâmica
. Para manter a mesma eficiência (mesma perda
) precisamos ter a mesma
. Ou seja
Convertendo para viscosidade cinemática desejada (usando densidade aproximada
igual à do item anterior):
Logo precisamos que o SAE 40 tenha
.
Agora estimamos a temperatura
onde SAE 40 tenha essa
, usando os pontos tabelados típicos de SAE 40 (
,
) e interpolação logarítmica (mesmo procedimento do passo 3).
Cálculo (log‑interpolação):
Inclinação:
Queremos
tal que
. Então
Portanto, para que o SAE 40 apresente a mesma viscosidade (e assim a mesma perda por atrito e eficiência), ele precisaria trabalhar a aproximadamente
.
Passo 6
Resumo das suposições e observações (importantes para a prova):
- Usei valores típicos de viscosidade cinemática para óleos monograduados e densidade típica
. Esses valores são os que costumam ser fornecidos em tabelas; resultados numéricos mudarão se usar tabelas de um fabricante específico. - O método (equação de Petroff) assume película praticamente concêntrica e regime de cisalhamento simples; é apropriado para estimativas rápidas em mancais de filme fino.
- Se na sua prova houver uma tabela com viscosidades diferentes, substitua os valores e repita os mesmos passos (a técnica e as fórmulas não mudam).
Resposta
(a) Torque de atrito
; potência perdida por atrito
; coeficiente de atrito
. Eficiência
.
(b) Temperatura de operação necessária para SAE 40 (mantendo a mesma eficiência):
.