•A matriz A é 3\times3 com entradas explícitas mostradas acima.
•O que precisamos fornecer é A^{-1}, se ela existir.
Passo 2
Vou usar o procedimento de escalonamento (Gauss–Jordan) que consiste em montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr], onde I é a identidade 3\times3, e aplicar operações elementares de linha até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr], quando possível. Explico rapidamente os conceitos usados:
•A matriz aumentada inicial é a justaposição de A com I: isso representa buscar colunas que transformem A em I. Se conseguirmos, as colunas que aparecerem à direita são exatamente A^{-1}.
•Operações elementares de linha válidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam a existência da inversa e permitem eliminar entradas abaixo/acima de pivôs.
•Se em algum momento uma linha inteira da parte esquerda (a que era A) virar a linha zero enquanto a parte direita não for a linha zero, isso mostra que A é singular (não invertível).
Passo 3
Montamos a matriz aumentada inicial \bigl[A\mid I\bigr]:
Primeira etapa: eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (pivô em a_{11}=1).
Fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 10R_1. Calculemos termo a termo:
Isso sugere dependência linear entre as linhas de A. Vamos verificar o que isso implica na parte direita também.]
Passo 7
Se as duas linhas da parte esquerda têm essa dependência, subtrair o dobro de R_3 de R_2 deve zerar a parte esquerda da linha 2. Fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3. Calculemos termo a termo para toda a linha (incluindo a parte direita):
Repare no seguinte: a segunda linha tem a parte esquerda completamente nula (todos zeros), enquanto a parte direita nessa mesma linha não é a linha nula (é [-2\;1\;-2]). Isso significa que não podemos continuar transformando a parte esquerda em uma linha da identidade, porque uma linha zero na parte esquerda nunca poderá se tornar uma linha com um 1 e zeros nas outras posições; as operações de linha não podem criar uma coluna independente a partir de linhas zero na parte esquerda.]
Passo 9
Interpretação do resultado: a presença de uma linha da forma \bigl[0\;0\;0\mid *\;*\;*\bigr] (com * não todos zero) na matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] indica que as colunas originais de A são linearmente dependentes e, portanto, A não é invertível. Em outras palavras, não existe transformação de linha que leve a parte esquerda até a identidade I, logo A^{-1} não existe.
Passo 10
Como verificação alternativa e rápida (opcional): calcular o determinante de A. Se \det(A)=0, a matriz não é invertível. Calculemos: