Determine, caso exista, a inversa das matrizes abaixo usando o processo de escalonamento
a)
A=\left[\begin{array}{crc}1 & -2 & 3 \\\ 10 & 6 & 10 \\\ 4 & 5 & 2\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede: determinar, caso exista, a inversa da matriz A abaixo usando o processo de escalonamento.
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\[4pt] 10 & 6 & 10 \\[4pt] 4 & 5 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A é 3\times3 com entradas explícitas mostradas acima.
  • O que precisamos fornecer é A^{-1}, se ela existir.

Passo 2

Vou usar o procedimento de escalonamento (Gauss–Jordan) que consiste em montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr], onde I é a identidade 3\times3, e aplicar operações elementares de linha até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr], quando possível. Explico rapidamente os conceitos usados:
  • A matriz aumentada inicial é a justaposição de A com I: isso representa buscar colunas que transformem A em I. Se conseguirmos, as colunas que aparecerem à direita são exatamente A^{-1}.
  • Operações elementares de linha válidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam a existência da inversa e permitem eliminar entradas abaixo/acima de pivôs.
  • Se em algum momento uma linha inteira da parte esquerda (a que era A) virar a linha zero enquanto a parte direita não for a linha zero, isso mostra que A é singular (não invertível).

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial \bigl[A\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 10 & 6 & 10 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 5 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira etapa: eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (pivô em a_{11}=1).
Fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 10R_1. Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} &10 - 10\cdot 1 = 0,\\\ &6 - 10\cdot(-2) = 6 + 20 = 26,\\\ &10 - 10\cdot 3 = 10 - 30 = -20,\\\ &0 - 10\cdot 1 = -10,\\\ &1 - 10\cdot 0 = 1,\\\ &0 - 10\cdot 0 = 0. \end{aligned}
Portanto R_2 fica \bigl[0\;\;26\;\;-20\;\mid\;-10\;\;1\;\;0\bigr].

Passo 5

Ainda eliminando abaixo do pivô da primeira coluna, fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1. Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} &4 - 4\cdot 1 = 0,\\\ &5 - 4\cdot(-2) = 5 + 8 = 13,\\\ &2 - 4\cdot 3 = 2 - 12 = -10,\\\ &0 - 4\cdot 1 = -4,\\\ &0 - 4\cdot 0 = 0,\\\ &1 - 4\cdot 0 = 1. \end{aligned}
Portanto R_3 fica \bigl[0\;\;13\;\;-10\;\mid\;-4\;\;0\;\;1\bigr].

Passo 6

Escrevendo a matriz aumentada após as operações acima:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 26 & -20 & -10 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 13 & -10 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação: note que, na parte esquerda, a segunda linha é exatamente o dobro da terceira linha:
\bigl[0\;26\;-20\bigr] = 2\cdot\bigl[0\;13\;-10\bigr].
Isso sugere dependência linear entre as linhas de A. Vamos verificar o que isso implica na parte direita também.]

Passo 7

Se as duas linhas da parte esquerda têm essa dependência, subtrair o dobro de R_3 de R_2 deve zerar a parte esquerda da linha 2. Fazemos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3. Calculemos termo a termo para toda a linha (incluindo a parte direita):
\begin{aligned} &\text{parte esquerda: }0 - 2\cdot 0 = 0,\quad 26 - 2\cdot 13 = 0,\quad -20 - 2\cdot(-10) = -20 + 20 = 0;\\[4pt] &\text{parte direita: } -10 - 2\cdot(-4) = -10 + 8 = -2,\\\ &\qquad\qquad 1 - 2\cdot 0 = 1,\\\ &\qquad\qquad 0 - 2\cdot 1 = -2. \end{aligned}
Então a nova R_2 é \bigl[0\;0\;0\mid -2\;1\;-2\bigr].]

Passo 8

Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 13 & -10 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right].
Repare no seguinte: a segunda linha tem a parte esquerda completamente nula (todos zeros), enquanto a parte direita nessa mesma linha não é a linha nula (é [-2\;1\;-2]). Isso significa que não podemos continuar transformando a parte esquerda em uma linha da identidade, porque uma linha zero na parte esquerda nunca poderá se tornar uma linha com um 1 e zeros nas outras posições; as operações de linha não podem criar uma coluna independente a partir de linhas zero na parte esquerda.]

Passo 9

Interpretação do resultado: a presença de uma linha da forma \bigl[0\;0\;0\mid *\;*\;*\bigr] (com * não todos zero) na matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] indica que as colunas originais de A são linearmente dependentes e, portanto, A não é invertível. Em outras palavras, não existe transformação de linha que leve a parte esquerda até a identidade I, logo A^{-1} não existe.

Passo 10

Como verificação alternativa e rápida (opcional): calcular o determinante de A. Se \det(A)=0, a matriz não é invertível. Calculemos:
\begin{aligned} \det(A)&=1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 10\\[2pt]5 & 2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 10\\[2pt]4 & 2\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 6\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix}\\[6pt] &=1\cdot(6\cdot 2 - 10\cdot 5) +2\cdot(10\cdot 2 - 10\cdot 4)+3\cdot(10\cdot 5 - 6\cdot 4)\\[6pt] &=1\cdot(-38) + 2\cdot(-20) + 3\cdot 26\\[4pt] &=-38 - 40 + 78 = 0. \end{aligned}
Como \det(A)=0, confirmamos que A é singular e não possui inversa.]

Resposta

Não existe inversa.

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