Determine, caso exista, a inversa das matrizes abaixo usando o processo de escalonamento
b)
B=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\ 1 & 4\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, a inversa da matriz B usando o processo de escalonamento. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix}3 & -2 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos de B são b_{11}=3, b_{12}=-2, b_{21}=1 e b_{22}=4. Queremos encontrar B^{-1} tal que B B^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Explicando o método (de forma prática e passo a passo): para inverter uma matriz pelo processo de escalonamento (Gauss–Jordan) fazemos a matriz aumentada \left[ B \mid I \right] e aplicamos operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. As operações elementares permitidas são:
  • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo: kR_i com k\neq 0,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra: R_j \leftarrow R_j + kR_i.
Essas operações correspondem a multiplicações por matrizes invertíveis e, portanto, não mudam a existência da inversa. No final, o bloco da direita da matriz aumentada será B^{-1}.

Passo 3

Começamos escrevendo a matriz aumentada \left[ B \mid I \right]:
\left[\begin{array}{cc|cc} 3 & -2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

É conveniente obter um pivô 1 no topo. Como já há um 1 em b_{21}, trocamos as linhas R_1 e R_2:
R_1 \leftrightarrow R_2.
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminamos o elemento abaixo do pivô (o 3 em posição (2,1)) usando R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculamos linha por linha:
  • Para a parte esquerda: [3,\,-2] - 3\,[1,\,4] = [3-3,\,-2-12]=[0,\,-14].
  • Para a parte direita: [1,\,0] - 3\,[0,\,1] = [1,\,-3].
Assim a aumentada vira
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -14 & 1 & -3 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora normalizamos o pivô da segunda linha para 1. Multiplicamos R_2 por -\dfrac{1}{14}:
R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{14} R_2.
Fazendo as contas:
  • Parte esquerda: [0,\,-14]\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) = [0,\,1].
  • Parte direita: [1,\,-3]\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) = \left[-\dfrac{1}{14},\,\dfrac{3}{14}\right].
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 4 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -\dfrac{1}{14} & \dfrac{3}{14} \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminamos o elemento acima do pivô da segunda coluna (o 4 em (1,2)) usando R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2. Calculamos:
  • Parte esquerda: [1,\,4] - 4\,[0,\,1] = [1,\,0].
  • Parte direita: [0,\,1] - 4\left[-\dfrac{1}{14},\,\dfrac{3}{14}\right] = \left[0 + \dfrac{4}{14},\,1 - \dfrac{12}{14}\right].
    Simplificando as frações:
\left[ \dfrac{4}{14},\,\dfrac{2}{14} \right] = \left[\dfrac{2}{7},\,\dfrac{1}{7}\right].
Portanto a aumentada final é
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{7} \\[6pt] 0 & 1 & -\dfrac{1}{14} & \dfrac{3}{14} \end{array}\right].]

Passo 8

Agora o bloco esquerdo é a identidade, logo o bloco direito é B^{-1}. Podemos escrever B^{-1} de forma mais compacta fatorando 1/14:
B^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{7} \\[6pt] -\dfrac{1}{14} & \dfrac{3}{14} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & 2 \\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Como verificação rápida: o determinante de B é \det(B)=3\cdot4-(-2)\cdot1 = 12+2 = 14\neq 0, então a inversa existe e a fórmula direta para 2\times2 daria B^{-1}=\dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}, que coincide com o resultado obtido por escalonamento.]

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{7} \\[6pt] -\dfrac{1}{14} & \dfrac{3}{14}\end{pmatrix} = \dfrac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & 2 \\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix}]

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